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CHAPITRE III.

Dans tous les cas les équations (1) ne seraient pas distinctes.

Il n’y aurait d’exception que si l’on avait à la fois

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{2}}}=\dots ={\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}=0$

pour $x_{i}=\varphi _{i}(0),\,\mu =0.$

On supprimera donc l’une des équations (1), par exemple

$\psi _{n}=0,$

$\left(\mathrm {si} \;{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}\gtrless 0\right),$ et l’on résoudra par rapport aux $\beta$ le système

$\psi _{1}=\psi _{2}=\dots =\psi _{n-1}=0,$

auquel on adjoindra une $n$^ième équation choisie arbitrairement, par exemple

$\beta _{i}=\mathrm {const.} \;\mathrm {arbitraire} \quad \mathrm {ou} \quad \mathrm {F} =\mathrm {C}$

($\mathrm {C}$ étant une constante donnée).

Pour chaque valeur de $\mu$ il y a donc une infinité de solutions périodiques de période $2\pi \,;$ si toutefois on regarde la constante $\mathrm {C}$ (à laquelle est égalée $\mathrm {F}$) comme une donnée de la question il n’y en a plus qu’une en général.

Si, au lieu d’une intégrale uniforme, nous en avions deux

${\begin{aligned}\mathrm {F} (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\mathrm {F} _{1}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\,t)&=\mathrm {const.,} \\\end{aligned}}$

les deux dernières équations (1) seraient une conséquence des $n-2$ premières, pourvu que le jacobien

${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n-1}}}-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{n-1}}}{\frac {d\mathrm {F_{1}} }{dx_{n}}}$

ne soit pas nul pour $x_{i}=\varphi _{(}0),$ $\mu =0.$

On pourrait alors supprimer ces deux dernières équations

$\psi _{n-1}=\psi _{n}=0,$

et les remplacer par deux autres équations choisies arbitrairement.