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L'ESPÉRAXCK mathématique. 73 c'est-à-dire 31. La somme des deux probabilités est égale à l'unité, ce qui n'était pas évident a priori. En effet, la probabilité pour que la partie se prolonge indéfi- niment pouvait avoir une valeur finie. Supposons s très grand. Quand (3> i, (3*est très grand et cp(n) a le signe de (3%*sa limite est 1. Quand (3= r, sa limite est encore i. Quand (3< 1, (3$tend vers o à mesure que s augmente, et la limite de cp(n) est (3". Conclusion. Sidoncsesttrèsgrand et nfini, on a la certitude d'être ruiné dans un jeu équitable ou avantageux à l'adversaire. Mais si le jeu est avantageux au joueur,- la probabilité d'être ruiné devient d'autant plus petite que sa fortune est plus grande. Un joueur de profession, un banquier, joue avec tout le monde; c'est-à -dire avec un adversaire infiniment riche, mais le jeu lui réserve des avantages. Au contraire, le ponte qui jouera indéfiniment est sàr d'être ruiné. 32. J. Bertrand a calculé- le moment probable de sa ruine. Pour le banquier, (3< i, la probabilité pour que la ban- que saute est {31/ {3est le rapport des chances favorables au ponte, aux chances favorables au banquier supposons