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L'ESPÉRANCE mathématique. 71 des racines multiples, par exemple, une racine double, (3!=:|32; en faisant varier les coefficients d'une manière continue, il peut arriver, en effet, que deux racines deviennent égales. On n'a plus alors K solutions. 3J et (3^ sont des solutions; K} £ est une combinaison linéaire, et, par conséquent, une solution. Quand{31tend vers Pi, par raison de continuité, on a encore à la limite une solution. Cette limite s'obtient en dïâérentiant, par rapport à (3, les deux termes du rapport, ce qui donne «(3""1 ou, si l'on veut, «8* est donc une nouvelle solution. Avec une racine triple, on aurait en outre ra2(3J, etc. 30. Appliquons cette règle au problème qui nous occupe, c'est-à-dire à l'équation (1) du paragraphe 28. Faisons <p («) = 8»; il viendra S" p(3"-1+- (1 p)§n+l, ou j3=p-t -(i-iO)(3s. Cette équation du second degré a une racine évidente, 8 = i l'autre est c'est cette valeur que nous appel- lerons désormais 8. Les deux solutions (3" et i donnent pour la valeur générale de cp(n) <p(re) = a8«-i- b . Les conditions limites donnent les deux constantes arbi- traires 1=a4-b, O = «8s+è;