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66 CHAPITRE 1lI. 27. Paradoxe de Saint-Pétersbourg. La théorie de l'espérance mathématique a donné lieu à ce paradoxe célèbre. Paul lance une pièce (te monnaie; si elle retombe pile, il paie ifr à Pierre et la partie est terminée; si elle retombe face, on recommence. Si au deuxième coup on amène pile, Pierre reçoit 2fr et la partie est terminée; si l'on amène face, on recommence. Au troisième coup, Pierre recevra 4fr, ou bien la partie continuera, et ainsi de suite. Si la pièce pré- sente face n fois de suite et que le (n + i)e coup soit pile, Paul paie zn francs. Quelle somme doit donner Pierre à Paul au commence- ment de la partie pour que le jeu soit équitable? En d'au- tres termes, quelle est l'espérance mathématique de Pierre ? La probabilité d'amener pile au premier coup est l'es- pérance correspondante est-. La probabilité d'amener face au premier coup, puis pile au second, événements indépendants, est une probabilité composée, j-1 L'espérance mathématique est '4 Ix2= 2 Au troisième coup, cette espérance est x 4= -• Au ne coup, X2n Tous les termes de la série sont égaux l'espérance mathématique de Pierre est infinie il n'achèterait jamais trop cher le droit de jouer. On a voulu expliquer ce paradoxe de plusieurs manières. Paul n'est pas infiniment riche, a-t -on dit sa fortune est comprise, par exemple, entre 2p et 2P+1; si l'on amène pile au (p +r)e coup, il devra i? francs et pourra payer; mais, si