C’est un produit de
facteurs ; faisons-y
![{\displaystyle t_{1}=t_{2}=\ldots =t_{n}=t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd6b8a77fba40cbe4f9c1e4afaaa740fad47534)
.
Le monome deviendra
![{\displaystyle t^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{n}}=t^{\mathrm {K} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30b1f82d0821863a3329fd5ce09c1ea4d55e433b)
,
et le polynome
se réduira à
![{\displaystyle (t+t^{2}+\ldots +t^{6})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b0a0fbe3b51bd7480494ca639121d870c6ef8da)
.
Soit N le nombre des cas favorables ; il y a N monomes égaux à
, leur somme est
, et si l’on fait pour toutes les valeurs possibles de
![{\displaystyle \Sigma \ \mathrm {N} t^{\mathrm {K} }=\Pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b014f9754e142af8a7faaa10c303c651b067518b)
.
La probabilité demandée est
.
La valeur de
est facile à calculer.
Il est la puissance
e d’une somme de termes en progression géométrique
![{\displaystyle \Pi =\left({\frac {t-t^{7}}{1-t}}\right)^{n}=(t-t^{7})^{n}(1-t)^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beff0b1904a72cbec2253731620ee5e7b1d66a31)
;
et
peuvent se développer par la formule du binome ; en faisant le produit des deux développements, j’aurai le coefficient de
, c’est-à-dire
.
Reprenons le cas de deux dés. Il devient
, et l’on a
![{\displaystyle (t-t^{7})^{2}=t^{2}-2t^{8}+t^{14}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f528ff33de33981f6426a049c382e776721dcc8c)
,
![{\displaystyle (1-t^{7})^{-2}=1+2t+3t^{2}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4263cf5453c00772bb25b66012b93404ad384679)
Évaluons le coefficient de
en faisant le produit de ces deux développements. D’abord,
ne peut dépasser 12 ; puis