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Les bulletins de $\beta$ ont été pris dans l’ordre

${m+n+2-2p},\ldots ,{m+n},1,2,\ldots ,{m+n-2p},{m+n+1-2p}$.

Je dis que cette dérivée appartient toujours au troisième groupe.

D’abord le $(m+n+2-2p)$^e bulletin doit être $\mathrm {A}$, puisque dans $\beta '$ il fait perdre la majorité à $\mathrm {B}$ ; donc $\gamma$ commence par $\mathrm {A}$.

$\mathrm {A}$ ne conservera pas tout le temps la majorité. En effet, les $2p$ premiers bulletins de $\gamma$ sont, dans un ordre différent, les $2p$ premiers bulletins de $\beta '$ ; et par hypothèse, après le dépouillement de ces $2p$ bulletins, il y avait égalité entre les deux candidats.

Donc, dans $\gamma$, $\mathrm {A}$ aura perdu la majorité et y appartiendra au troisième groupe.

Ainsi, toute combinaison du second groupe a une dérivée, et une seule appartenant au troisième groupe.

Si, pour une combinaison $\alpha$ appartenant au troisième groupe, je forme sa dérivée $\beta$, puis la dérivée de $\beta$, je dis que je retombe sur $\alpha$.

Démontrons que le $q$ de $\alpha$ correspond au $p$ de $\beta$.

En effet, formons $\beta '$

$(\beta ')$                                         $\mathrm {BBABAA} |\mathrm {AABA}$.

Si je prends les $2q$ premiers bulletins de $\beta '$, ce sont précisément les $2q$ premiers bulletins de $\alpha$ dépouillés dans un ordre inverse, et, d’après le lemme, $\mathrm {B}$ n’y perdra la majorité qu’à la fin ; or, nous savons, d’autre part, que $\mathrm {B}$ ne perd la majorité dans $\beta '$ qu’au $(2p)$^e bulletin ; donc

$p=q$.

et la dérivée de $\beta$ sera $\alpha$.