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qu’au dernier bulletin, où il la perd, puisqu’il y a finalement égalité ; le dernier bulletin est donc au nom de $\mathrm {B}$. Dépouillons dans l’ordre inverse $\mathrm {B}$ perdra la majorité au dernier bulletin seulement.

À un moment déterminé du scrutin, on a dépouillé $a$ bulletins $\mathrm {A}$, et $b$ bulletins $\mathrm {B}$, et l’on a trouvé $a>b$, puisque \mathrm{A} a la majorité. Il reste à dépouiller $q-a$ bulletins $\mathrm {A}$, et $q-b$ bulletins $\mathrm {B}$.

Dans l’ordre inverse, le scrutin aurait donc montré

$q-b>q-a$,

c’est-à-dire que $\mathrm {B}$ aurait eu la majorité.

Ce lemme établi, revenons au problème qui nous occupe.

Considérons une combinaison $\alpha$ du troisième groupe

$(\alpha )$                                         $\mathrm {AABAB} |\mathrm {BABAA}$.

$\mathrm {A}$ a la majorité jusqu’au trait, puis, au bulletin suivant, il la perd pour la première fois. À gauche du trait, s’il y a $q$ bulletins $\mathrm {A}$, il y a $q-1$ bulletins $\mathrm {B}$, soit en tout $2q-1$ bulletins.

Considérons une autre combinaison, que nous appellerons dérivée de $\alpha$,

$\mathrm {BABAA} |\mathrm {AABAB}$.

On l’obtient en prenant successivement dans $\alpha$ les bulletins de rang

$2q,\ 2q+1,\ 2q+2,\ \ldots ,\ m+n,\ 1,\ 2,\ \ldots ,\ 2q-1,$

c’est-à-dire en transportant à gauche du trait ce qui était à droite, et inversement.

Le $(2q)$^e bulletin étant, par définition, le premier qui fait