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Cherchons la probabilité pour que l’abscisse du point de chute soit comprise entre $x$ et $x+dx$ ; elle se représentera par

$\varphi (x)\ dx$.

De même, la probabilité pour que l’ordonnée du point de chute soit comprise entre $y$ et $y+dy$ se représentera par

$\psi (y)\ dy$.

Mais on doit supposer que $\varphi$ et $\psi$ sont égaux pour que la probabilité reste la même dans toutes les directions ; dans le second cas, on aura donc

$\varphi (y)\ dy$.

Le raisonnement va devenir incorrect : cherchons la probabilité pour que $\mathrm {M}$ se trouve dans un petit rectangle de dimensions $dx$ et $dy$. Deux événements doivent se produire à la fois : 1° l’abscisse est comprise entre $x$ et $x+dx$ ; 2° l’ordonnée est comprise entre $y$ et $y+dy$.

En vertu du théorème des probabilités composées, la probabilité actuelle sera

$\varphi (x)\ \varphi (y)\ dx\ dy$.

D’autre part, cette probabilité s’exprime par $f(\rho )\ d\sigma$ ; on a donc

$\varphi (x)\ \varphi (y)=f(\rho )$.

Prenons les dérivés logarithmiques des deux membres par rapport à $x$, en tenant compte de $\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$,

${\frac {\varphi '(x)}{\varphi (x)}}={\frac {f'(\rho )}{f(\rho )}}{\frac {x}{\rho }}$.

Ainsi

${\frac {\varphi '(x)}{x\ \varphi (x)}}={\frac {f'(\rho )}{\rho \ f(\rho )}}$,