La probabilité pour que
se produise, si
s’est produit, est
si
.
La probabilité pour que
se produise, si l’on sait que
ne s’est pas produit, est
si
.
12. Les théorèmes annoncés se réduisent à de simples identités.
Examinons
,
,
,
. On a
![{\displaystyle p_{1}+p_{2}=p_{3}+p_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8b77c00e1a0524b563058100f5f852db96bfbff)
,
![{\displaystyle p_{4}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}={\frac {\alpha }{\alpha +\gamma }}{\frac {\alpha +\gamma }{\alpha +\beta +\gamma +\delta }}=p_{2}p_{5}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a59c5a9c908d56ad8fc2ff72bf969bf7b5838f0)
;
de même
![{\displaystyle p_{4}=p_{1}p_{7}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae5641645053ce3bee2ea2d56b673d2700ddd1da)
.
Ainsi la somme des probabilités pour que
se produise
et pour que
se produise est égale à la somme des probabilités pour que l’un des deux au moins se produise et pour que tous les deux se produisent
![{\displaystyle (\mathrm {A} )+(\mathrm {B} )=(\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e0de732e69ea092194dea3178a7934300159d93)
ou
![{\displaystyle \mathrm {B} )+(\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e86993d5db19568384eafba6eea3945c604e493)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668d47af2817c7def0490e22b225cc603f2a1c3d)
.
La probabilité pour que
et
se produisent tous deux est égale à la probabilité pour que
se produise, multipliée par la probabilité pour que
se produise, quand on sait que
s’est produit.
Ou, inversement, elle est égale à la probabilité pour que
se produise, multipliée par la probabilité pour que
se produise, quand on suppose que
doit se produire.
![{\displaystyle (\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d77359b8098e192c125a3c9a822f721eedf5ccc9)
et
![{\displaystyle \mathrm {B} )=(\mathrm {B} )(\mathrm {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a48b4682a902f0c7a06ff1d99af9a2e6aa91eb9b)
si
![{\displaystyle \mathrm {B} )=(\mathrm {A} )(\mathrm {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aedbc78a321a704b1d4c8f7cd5ff2b3cf3a4154)
si
![{\displaystyle \mathrm {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b95e014711bf257eca5d0e09ae858cf34f6c254)
.