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130 CHAPITREVII. PROBABILITÉDU CONTINU. Si NQ n'est pas dans le prolongement de MN, l'espérance mathématique est encore doublée. L'espérance mathéma- tique est donc proportionnelle à la longueur totale de la ligne, qu'elle soit droite ou brisée, ou même, en allant plus loin, quelle que soit sa forme. Si l'on promet autant de francs que de points d'intersection de la courbe avec les parallèles, l'espérance mathématique sera ainsi proportionnelle à la longueur de la courbe. Si la courbe est une circonférence de diamètre d, sa lon- gueur sera %d dans ce cas, il y aura toujours deux points d'intersection, l'espérance mathématique sera donc 2. Pour une courbe de longueurs, cette espérance sera pour une droite de longueur d, ce sera 75. devenons sur le paradoxe de J. Bertrand relatif à la probabilité pour qu'une corde d'une circonférence soitplus petite que le côté du triangle équilatéral inscrit. Traçons une circonférence C, concentrique à la première C et dont le rayon soit la moitié du sien. Plaçons au hasard une droite dans le plan. Si nous adoptons la convention faite tout à l'heure au sujet de l'aiguille, la probabilité dé- pendra-t-elle d'une nouvelle et troisième hypothèse, ou bien de l'une des deux précédemment examinées? Je puis supposer la droite fixe etles circonférencesmobiles. La probabilité pour que l'une des circonférences coupe la droite est proportionnelle à sa longueur; la probabilité pour que C' rencontre la droite est donc le rapport des longueurs des deux circonférences, c'est-à -dire On retombe ainsi sur l'une des hypothèses de J. Bertrand.