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démonstration du théorème de Green, lemme exprimé analytiquement par l’égalité

$\int \alpha \mathrm {F} d\omega =\int {\frac {dV}{dx}}d\tau ,$

dans laquelle la première intégrale est étendue à une surface fermée et la seconde au volume limité par cette surface, désignant le cosinus de l’angle formé par l’axe des $x$ et la normale à l’élément $d\omega$ de la surface et $\mathrm {F}$ une fonction quelconque, mais continue, des coordonnées.

Appliquons ce lemme à l’intégrale du flux d’induction à travers une surface fermée,

$\int -\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dn}}d\omega =\int -\mathrm {K} \left(\alpha {\frac {d\psi }{dx}}+\beta {\frac {d\psi }{dy}}+\gamma {\frac {d\psi }{dz}}\right)d\omega =4\pi \mathrm {M} .$

Nous avons

$\int \alpha \mathrm {K} {\frac {d\psi }{dx}}d\omega =-\int {\frac {d}{dx}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dx}}d\tau ,$

$\int \beta \mathrm {K} {\frac {d\psi }{dy}}d\omega =-\int {\frac {d}{dy}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dy}}d\tau ,$

$\int \alpha \mathrm {K} {\frac {d\psi }{dx}}d\omega =-\int {\frac {d}{dz}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dz}}d\tau ,$

et en ajoutant

$\int \left({\frac {d}{dx}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dx}}+{\frac {d}{dy}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dy}}+{\frac {d}{dz}}\mathrm {K} {\frac {d\psi }{dz}}\right)d\tau =-4\pi \mathrm {M}$

Si nous désignons par $\rho$ la densité cubique en chaque point, nous avons

$\mathrm {M} =\int \rho d\tau ,$