Le principe que les carrés des différences entre les quantités observées et calculées doivent produire une somme minimum, pourra du reste être aussi considéré, indépendamment du calcul des probabilités, de la manière suivante.
Quand le nombre des inconnues est égal au nombre des quantités observées qui en dépendent, on peut déterminer les premières de manière quelles satisfassent exactement aux dernières. Mais quand le nombre des premières est moindre que celui des dernières, cet accord ne peut être exactement obtenu, en tant que les observations ne jouissent pas d’une précision rigoureuse. Dans ce cas, il faut donc faire en sorte que l’accord soit le meilleur possible, c’est-à-dire que les différences soient atténuées autant que faire se peut. Mais ce principe a par lui-même quelque chose de vague. En effet, quoiqu’un système de valeurs des inconnues qui rend toutes les différences respectivement moindres qu’un autre, doive sans aucun doute être préféré à celui-ci, néanmoins le choix entre deux systèmes dans lesquels l’un offre un meilleur accord pour certaines observations, mais moins satisfaisant pour d’autres» est en quelque sorte arbitraire, et il est évident qu’un très-grand nombre de principes peuvent être proposés, d’après lesquels la première condition soit remplie. En désignant par etc., les différences entre les observations et le calcul, on satisfera à la première condition non-seulement si etc., est un minimum (ce qui est notre principe), mais aussi si etc., ου etc., ou, généralement, si la somme des puissances quelconques paires est un minimum. Mais, de tous ces principes, le nôtre est le plus simple, tandis que dans les autres on est conduit à des calculs très-compliqués. Au reste notre principe, dont nous nous servons déjà depuis l’année 1795, a été récemment donné par le célèbre Legendre dans l’ouvrage Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes, Paris, 1806, ouvrage dans lequel sont exposées plusieurs autres propriétés de ce principe, que nous supprimons pour être plus bref.
Si nous adoptions pour exposant de la puissance paire, l’infini, nous serions conduits au système dans lequel les plus grandes différences sont plus petites que dans tout autre.
