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LIVRE I, SECTION IV.
![{\displaystyle \operatorname {tang} \left({\frac {1}{2}}\lambda +{\frac {1}{2}}\lambda '-{\text{☊ }}\right)={\frac {\sin(\beta '+\beta )\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}(\lambda '-\lambda )}{\sin(\beta '-\beta )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3307056e2d6abd4f286177fed2156ac80b045e3b)
formule certainement un peu plus commode, si les angles
sont
donnés immédiatement, et non par les logarithmes de leurs tangentes ;
mais, pour la détermination de
on aura recours à l’une des formules
![{\displaystyle \operatorname {tang} i={\frac {\operatorname {tang} \beta }{\sin(\lambda -{\text{☊ }})}}={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\lambda '-{\text{☊ }})}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d22ac4acadbcd9ad99c06f57a372a6503d51242)
Au reste, l’ambiguïté dans la détermination de l’angle
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\lambda +{\frac {1}{2}}\lambda '-{\text{☊ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7540af6698ddd73647de8b48dfa05f20ad215c1)
par sa tangente, sera décidée par la considération que
doit
être positif ou négatif selon que le mouvement projeté sur l’écliptique
est direct ou rétrograde : c’est pourquoi, on ne peut alors lever cette
incertitude que dans le cas où l’on peut constater dans quelle direction le corps céleste a passé de la première position à la seconde. Si
ceci ne pouvait être déterminé, il serait certainement impossible de
distinguer le nœud ascendant du nœud descendant.
Une fois les angles
et
déterminés, on obtiendra les arguments
de la latitude
par les formules
![{\displaystyle \operatorname {tang} u={\frac {\operatorname {tang} (\lambda -{\text{☊ }})}{\cos i}},\qquad \operatorname {tang} u'={\frac {\operatorname {tang} (\lambda '-{\text{☊ }})}{\cos i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d4f7cc9edbc0eb50832ad0fb1ce975e988783c)
qui doivent être prises dans le premier demi-cercle ou dans le second,
suivant que les latitudes correspondantes sont boréales ou australes.
À ces formules nous ajoutons encore les suivantes, dont l’une ou l’autre
pourra, si cela convient, être employée dans la pratique à s’assurer
de l’exactitude du calcul :
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos u&=\cos \beta \cos(\lambda -{\text{☊ }}),&\cos u'&=\cos \beta '\cos(\lambda '-{\text{☊ }}),\\\sin u&={\frac {\sin \beta }{\sin i}},&\sin u'&={\frac {\sin \beta '}{\sin i'}},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3873a44a568a16f976bd005b076d37fc211b7430)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(u'+u)&={\frac {\sin(\lambda +\lambda '-2{\text{☊ }})\cos \beta \cos \beta '}{\cos i}},\\\sin(u'-u)&={\frac {\sin(\lambda '-\lambda )\cos \beta \cos \beta '}{\cos i}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af8c2d75eec1cb35463438f562e8ed40deb0b03)