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C.-F. GAUSS
par
Les deux expressions seront égales
entr’elles lorsque la proportionnalité en question a lieu, et la
seconde condition est par conséquent déjà comprise dans la
première, ce qu’un instant de réflexion rend évident.
L’expression analytique de la condition de notre problème
est donc la suivante
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+\mathrm {C} ^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\ =\ {\frac {\mathrm {A} \mathrm {A} '+\mathrm {B} \mathrm {B} '+\mathrm {C} \mathrm {C} '}{aa'+bb'+cc'}}\ =\ {\frac {\mathrm {A} '^{2}+\mathrm {B} '^{2}+\mathrm {C} '^{2}}{a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4770d6ce88a68b59c935a5b1005bb21dd6de57a5)
et ceci doit être une fonction finie de
et
que nous poserons
Alors
exprime le rapport suivant lequel les grandeurs
linéaires sur la première surface sont augmentées ou
diminuées dans leur représentation sur la seconde, [selon
que
est plus grand ou plus petit que
]. Ce rapport sera,
en général, différent suivant les lieux. Au cas particulier où m
est constant il y aura similitude complète même dans les parties
finies et, lorsqu’en outre
l’égalité parfaite aura
lieu, et chacune des surfaces sera applicable sur l’autre.
V
Posant pour abréger
![{\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})dt^{2}+2(aa'+bb'+cc')dtdu+(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})du^{2}=\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caaa2a73280a12952e6dda7a72839bd83460c16)
nous remarquons que l’équation différentielle
admettra
deux intégrales. En effet si l’on décompose le trinôme
en
deux facteurs, linéaires par rapport à
et
l’un ou l’autre
doit être
ce qui donnera deux intégrales différentes.
L’une des intégrales correspondra à l’équation
![{\displaystyle 0=(a^{2}+b^{2}+c^{2})dt+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbefa1c7b76315fcf8636f0821b7a3be007b163a)
![{\displaystyle +\left[aa'+bb'+cc'+i{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a'^{2}+b'^{2}+c'^{2})-(aa'+bb'+cc')^{2}}}\right]du}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb42093a40bbf7cbd4f1d84fc02004be4a6e7575)