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C.-F. GAUSS
et que
![{\displaystyle \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u(\cos t+i\sin t)={\frac {\sin u\cos t+i\sin u\sin t}{1+\cos u}}={\frac {x+iy}{a+z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d0aba78eb3e3f35daa7d72b2a52867f238d614)
la solution générale pourra aussi être représentée par
![{\displaystyle \mathrm {X} +i\mathrm {Y} =f\left({\frac {x+iy}{a+z}}\right),\qquad \mathrm {X} -i\mathrm {Y} =f_{1}\left({\frac {x-iy}{a+z}}\right)\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af5c78584f21acd0028f2974c30d07e9b0bd81c0)
c’est à dire que
devra être posé égal à la partie réelle, et
à la partie imaginaire de
désignant une fonction
arbitraire. Au lieu de
on reconnaît aisément que
l’on peut encore prendre une fonction arbitraire de
ou
bien de
XII
Quatrièmement, considérons la représentation de la surface
de l’ellipsoïde de révolution sur le plan. Soient
et
les deux
demi-axes principaux de l’ellipsoïde en sorte que l’on peut
poser
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&x&&=a\cos t\sin u,\\&y&&=a\sin t\sin u,\\&z&&=b\cos u,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288844700c6f420b572520f5e07df4eb6a5c01f6)
On aura par conséquent ici
![{\displaystyle \omega =a^{2}\sin ^{2}udt^{2}+(a^{2}\cos ^{2}u+b^{2}\sin ^{2}u)du^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09517ee71efe43e21a41a477fc422ae6b351c082)
et la formule différentielle ω = o, si l’on pose pour abréger
[avec le demi-axe de révolution
], donne
![{\displaystyle 0=dt\mp idu{\sqrt {\operatorname {cotang} ^{2}u+1-\varepsilon ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2073f3446e59a1ad28057df428ae91822dc45fdc)