13
REPRÉSENTATION CONFORME
gardé auparavant comme supérieur est maintenant pris comme
côté inférieur. On pourra d’ailleurs toujours faire l’application
de cette remarque, lorsque l’une des deux surfaces est un
plan ; aussi dans les exemples de cette nature qui suivent nous
pouvons nous en tenir simplement à la première solution.
IX
Considérons maintenant [comme second exemple] la représentation
de la surface d’un cône droit sur le plan. Comme
équation de la première surface prenons
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}-k^{2}z^{2}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d65fe821e4756a8d8f90428459bd05ffdc8193c3)
où nous poserons ensuite
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&x&&=&&\ kt\cos u,\\&y&&=&&\ kt\sin u,\\&z&&=&&\ t,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee448fe451451e0376218cc6f9d55ffcaaf9236f)
et, comme auparavant,
![{\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {T} ,\qquad \mathrm {Y} =\mathrm {U} ,\qquad \mathrm {Z} =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b5b15bb2bc27f29eb786519dc2a194a21c6577d)
L’équation différentielle
![{\displaystyle \omega =(k^{2}+1)dt^{2}+k^{2}t^{2}du^{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8799c8a1ba798e4b62e8152a6986a9fc77317f97)
donne ici les deux intégrales
![{\displaystyle \log t\pm i{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u={\text{Const.}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d7eceea8b8336d3e51db32678ebe4381ca7195)
Nous avons donc la solution
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\mathrm {X} +i\mathrm {Y} &&=&&f\left(\log t+{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right),\\&\mathrm {X} -i\mathrm {Y} &&=&&f\left(\log t-{\sqrt {\frac {k^{2}}{k^{2}+1}}}u\right)\ ;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2eb4aa80032c9a40fe5efb87b6127bf7398e8b2)