6
C.-F. GAUSS
Ces intégrations peuvent évidemment s’effectuer [abstraction
faite des difficultés générales de l’intégration] avant la résolution
de notre problème principal.
Si à
l’on substitue des fonctions de
telles que la
condition de notre problème principal soit remplie,
se transforme
en
et l’on aura
![{\displaystyle {\frac {(d\mathrm {P} +id\mathrm {Q} )(d\mathrm {P} -id\mathrm {Q} )}{dp+idq)(dp-idq)}}={\frac {m^{2}n}{\mathrm {N} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef42f8c2981ff5a4eb423f3407d6f731106223ff)
.
Mais on voit facilement que le numérateur du premier
membre de cette équation ne peut être divisible par le dénominateur
que lorsque
![{\displaystyle d\mathrm {P} +id\mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5bf66763ce7f71c7802247979797283df88723)
est divisible par
![{\displaystyle dp+idq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f79bb7f290c84b8d3c7a15aa110415dc91f3fd5)
et
![{\displaystyle d\mathrm {P} -id\mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb2269005a8ede11569e7e22c4727a7e5245174)
par
![{\displaystyle dp-idq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d956cc5fa8174e84bb2afccc9187b52cb3fd51)
ou bien lorsque
![{\displaystyle d\mathrm {P} +id\mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5bf66763ce7f71c7802247979797283df88723)
est divisible par
![{\displaystyle dp-idq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58d956cc5fa8174e84bb2afccc9187b52cb3fd51)
et
![{\displaystyle d\mathrm {P} -id\mathrm {Q} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb2269005a8ede11569e7e22c4727a7e5245174)
par
![{\displaystyle dp+idq,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f79bb7f290c84b8d3c7a15aa110415dc91f3fd5)
Dans le premier cas, par conséquent,
s’évanouira
lorsque
ou bien
sera constant si l’on
suppose
constant ; c’est à dire que
sera simplement
fonction de
et de même
fonction de
Dans l’autre cas,
sera fonction de
et
fonction de
Il est aisé de voir également que les réciproques
de ces conclusions sont exactes ; c’est à dire que, lorsque
l’on prend pour
[soit dans l’ordre respectif,
soit dans l’ordre inverse] des fonctions de
la
divisibilité exacte de
par
et par suite la proportionnalité,
que l’on a ci-dessus trouvée nécessaire, aura lieu.