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Nous obtenons ainsi


puisque est situé sur le grand cercle dont le pôle est . De là nous concluons que est indépendant de et, par conséquent, fonction seulement de  ; mais pour il est évident qu’on a par conséquent aussi et indépendamment de . Ainsi, nécessairement, on devra avoir généralement et aussi c’est-à-dire De là nous tirons :

Théorème. — Si l’on mène sur une surface courbe d’un même point initial une multitude de lignes de plus courte distance de même longueur, la ligne qui joindra leurs extrémités sera normale à chacune d’elles.

Nous avons tenu à déduire ce théorème de la propriété fondamentale des lignes de plus courte distance. Du reste, on peut se convaincre de sa vérité, sans aucun calcul, par le raisonnement suivant : Soient deux lignes de plus courte distance de même longueur, comprenant en un angle infiniment petit ; et supposons que l’un des angles de l’élément avec les lignes , diffère d’une quantité finie de l’angle droit, d’où, par la loi de la continuité, l’un sera plus grand, l’autre moindre que l’angle droit. Supposons que l’angle en et prenons sur la ligne un point , tel qu’on ait


Comme on peut considérer le triangle infiniment petit comme plan, on aura


et, par suite,