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le double de l’aire de cette projection sera exprimé par
![{\displaystyle d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47eca92663938156d161d5f2ae0b49278da6816a)
et le signe de cette expression se détermine de la même manière que ci-dessus. Donc la mesure de la courbure en ce lieu de la surface sera
![{\displaystyle k={\frac {d\mathrm {X} .\delta \mathrm {Y} -d\mathrm {Y} .\delta \mathrm {X} }{dx.\delta y-dy.\delta x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61448aa927224bc8f466d118aa9c15c0807e896a)
Si nous supposons que la nature de la surface est donnée suivant le troisième mode considéré dans l’article IV, on aura
et
sous forme de fonctions des quantités
et
; d’où
![{\displaystyle d\mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33db1bab41a0e8e1eca5091e9bc2ae5a4da4e7c0)
![{\displaystyle \delta \mathrm {X} =\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right)\delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e799bf0fa10efeeefba116d2b61131dd7063edb)
![{\displaystyle d\mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)dx+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80fada3bdba379dc7c3cba8ec367fa2da3889287)
![{\displaystyle \delta \mathrm {Y} =\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right)\delta x+\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)\delta y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e3a528afdf92f03bc4664f0b958f2df64ea948)
Par la substitution de ces valeurs, l’expression précédente se change en celle-ci :
![{\displaystyle k=\left({\frac {d\mathrm {X} }{dx}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}\right)-\left({\frac {d\mathrm {X} }{dy}}\right).\left({\frac {d\mathrm {Y} }{dx}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639df11ec354e4ed2d5d25a717e2de6d2bfa15fb)
Posant, comme plus haut,
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}=t,\qquad {\frac {dz}{dy}}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bb31ca526f640e412da919f07995e889d6a4e82)
et de plus,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}=\mathrm {T} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dx\ dy}}=\mathrm {U} ,\qquad {\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=\mathrm {V} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416091776cff291ddb997a6e42289c68033406e8)
ou
![{\displaystyle dt=\mathrm {T} \ dx+\mathrm {U} \ dy,\qquad du=\mathrm {U} \ dx+\mathrm {V} \ dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e4672448feda1509b292f6425b89fff96bc8d6)