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NOTES DU TRADUCTEUR.

Si maintenant $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta$ sont des nombres pour lesquels $F$ se change en $f,$ on trouvera par le n^o 159, pour les nombres $\alpha ',$ $\beta ',$ $\gamma ',$ $\delta ',$ qui donnent une transformation quelconque semblable,

$m\alpha '=\alpha t-(B\alpha +C\gamma )u$,		$m\beta '=\alpha t-(B\beta +C\delta )u$,
$m\gamma '=\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u$,		$m\delta '=\alpha t-(A\beta +B\delta )u$ ;

or il faut observer qu’ici les valeurs de $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$ sont nécessairement entières puisque $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$ et $p$, $q$, $r$, $s$ le sont.

Si l’on compare les valeurs de $T$ et de $U$, que l’auteur déduit (n^o 199) avec celles auxquelles nous parvenons directement, on verra qu’elles sont identiques mutatis mutandis.

Mais si $F$ et $f$ n’étaient pas équivalentes, on se convaincra aisément que ces formules ne donneraient plus toutes les transformations, à moins que l’on n’admette des valeurs fractionnaires de $t$ et $u$ dans lesquelles le dénominateur serait le quotient du plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, divisé par le plus grand commun diviseur des nombres $A$, $2B$, $C$. Si nous nommons $m'$ le plus grand commun diviseur des nombres $a$, $2b$, $c$, et que nous fassions ${\frac {m'}{m}}=\mu$, on trouvera pour ce cas, en substituant dans les formules ${\frac {t}{\mu }}$ et ${\frac {u}{\mu }}$, à la place de $t$ et $u$, des formules semblables dans lesquelles, à la place de $m$, on doit mettre $m'$, et où $t$ et $u$ seront des nombres qui satisfassent à l’équation $t^{2}-Du^{2}=m'^{2}$, comme il résulte de l’analyse de l’auteur. Nous insistons peu sur ce second cas qui est d’une moins grande utilité.

Note relative au n^o 164.

On peut encore faire cette recherche d’une manière qui nous paraît en quelque sorte plus directe.

Nous supposerons qu’on ait démontré, comme l’auteur, les relations qui existent entre $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, $\alpha '$, $\beta '$, $\gamma '$, $\delta '$, et qui sont, en faisant usage de sa notation,

$a+d=0$,——$e+e'=0$, ——$bc-ad=e^{2}$,——$a^{2}+bc=e^{2}.$

Cela posé, soit $(F,G,H)$, la forme ambiguë cherchée, que nous désignerons par $\varphi$ ; faisons ${\frac {2G}{F}}=k$, $k$ sera un nombre entier. Or puisque $F$ doit se changer en $\varphi$, $F$ renfermera $\varphi$ proprement et improprement, et si la transformation propre est

$x=mt+nu$,——$y=pt+qu,$

on obtiendra une transformation impropre, en combinant la transformation propre avec une transformation impropre de $\varphi$ en elle-même. Alors si $\varphi$ se change en $F'$ par la transformation propre

$t=m'x'+n'y'$,——$u=p'x'+q'y'\,;$

en passant d’abord de $F$ à $\varphi ,$ et ensuite de $\varphi$ à $F'$, on obtiendra deux transformations de $F$ en $F',$ une propre et l’autre impropre (n^o 159), et qui devront coïncider avec les transformations données.