Page:Gauss - Recherches arithmétiques, traduction Poullet-Delisle, 1807.djvu/462

440

RECHERCHES

résidus minima, suivant le module $n$ ; et si l’on veut, on peut ordonner les termes de la période suivant la grandeur de ces nombres.

Exemple. Pour $n=19$, $2$ est racine primitive, et la période $(6,1)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}&[1],&[8],&[64],&[512],&[4096],&[32768],\\{\text{ou}}.......&[1],&[7],&[8],&[11],&[12],&[18]\,;\\\end{array}}$

de même la période $(6,2)$ est composée des racines

${\begin{array}{lcccccc}[2],&[3],&[5],&[14],&[16],&[17]\,;\\\end{array}}$

la période $(6,3)$ coïncide avec la précédente, et la période $(6,4)$ contient les racines

${\begin{array}{lcccccc}[4],&[6],&[9],&[10],&[13],&[15].\\\end{array}}$

344. On remarquera, au sujet de ces périodes, les observations suivantes, qui se présentent d’elles-mêmes :

1^o. Comme on a $\lambda h^{f}\equiv \lambda ,\;\lambda h^{f+1}\equiv \lambda h,\,{\text{etc.}}{\pmod {n}}$, il est évident que les périodes

$(f,\lambda ),\quad (f,\lambda h)\quad (f,\lambda h^{2}),\,{\text{etc.}}\,$

sont composées des mêmes racines, et généralement si $\lambda '$ est une racine quelconque de $(f,\lambda )$, cette période sera identique avec $(f,\lambda ')$. Donc deux périodes, de même nombre de termes (que nous nommerons périodes semblables), seront identiques, si elles ont une seule racine commune, et parconséquent il est impossible que de deux racines contenues dans une certaine période, il ne s’en trouve qu’une seule dans une période semblable : et il est clair que si les racines $[\lambda ]$, $[\lambda ']$ appartiennent à la même période, la valeur de l’expression ${\frac {\lambda '}{\lambda }}{\pmod {n}}$ sera congrue à une certaine puissance de $h$, ou que l’on peut supposer $\lambda '\equiv \lambda g^{\nu e}{\pmod {n}}$.

2^o. Si $f=n-1$, on a $e=1$, et la période $(f=1)$ coïncide avec $\Omega$ ; mais dans les autres cas $\Omega$ sera composé des $e$ périodes $(f,1),(f,g),(f,g^{2}),\,{\text{etc.,}}\,\dots \,(f,g^{e-1})$, et comme ces périodes sont toutes différentes entre elles, il est clair que toute autre période semblable $(f,\lambda )$ coïncide avec l’une d’elles,

pourvu