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ARITHMÉTIQUES.

Au reste, il est évident que cette formule générale sera d’autant plus simple, que la transformation $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , $\delta$ , dont elle est déduite, le sera elle-même davantage. Ainsi il sera utile de trouver, d’après le n^o précédent, la transformation la plus simple de la forme $(a,b,c)$ en la forme $\left(M,N,{\frac {N^{2}-D}{M}}\right)$ . On trouvera absolument de la même manière les formules générales qui donnent les représentations appartenantes aux valeurs $-N$ , $N'$ , $-N'$ , etc., s’il en existe.

Exemple. On cherche les représentations du nombre $585$ par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$ .

Pour ce qui regarde les représentations par des valeurs de $x$ , $y$ non premières entre elles, il est clair qu’il ne peut y en avoir d’autres que celles où le plus grand diviseur commun des nombres $x$ , $y$ serait $3$ puisque $9$ est le seul diviseur quadratique de $585$ . Ainsi quand on aura les représentations du nombre $65={\frac {585}{9}}$ par la forme $42x'^{2}+62x'y'+21y'^{2}$ , dans lesquelles $x'$ et $y'$ sont premiers entre eux, on en tirera toutes les représentations du nombre $585$ , par la forme $42x^{2}+62xy+21y^{2}$ , en posant $x=3x'$ et $y=3y'$ .

Les valeurs de l’expression ${\sqrt {79}}{\pmod {65}}$ sont $\pm 12$ , $\pm 27$ . On trouve que la représentation du nombre $65$ appartenante à la valeur $-12$ , est $x'=2$ , $y'=-1$ , d’où il suit que toutes les représentations de $65$ appartenantes à la même valeur seront données par la formule $x'=2t-41u$ , $y'=-t+53u$ , et partant toutes les représentations du nombre $585$ , par la formule $x=6t-123u$ , $y=-3t+159u$ . De la même manière, on trouve que les représentations du nombre $65$ appartenantes à la valeur $12$ sont données par la formule générale $x'=22t-199u$ , $y'=-23t+633u$ , et celles qui en naissent pour $585$ par $x=66t-597u,$ , $y=-69t+633u.$ Mais il n’y a aucune représentation du nombre $65$ appartenante à la valeur $\pm 27$ .

Pour trouver les représentations de $585$ par des valeurs de $x$ , $y$ premières entre elles, il faut d’abord trouver les valeurs de l’expression ${\sqrt {79}}{\pmod {585}}$ qui sont $\pm 77$ , $\pm 103$ , $\pm 157$ , $\pm 248$ . On trouve qu’aucune représentation n’appartient aux valeurs $\pm 77$ , $\pm 103$ , $\pm 248$ . Mais pour la valeur $-157$ on a la repré-