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RECHERCHES
et
désignant indéfiniment tous les nombres qui satisfont à
l’équation
. Nous ne pouvons pas encore conclure
que toutes les valeurs de
et de
qui satisfont à cette équation donnent des transformations convenables, lorsqu’on les substitue dans les formules (I). Mais ,
1o. On s’assurera par le développement, que la substitution de
valeurs quelconques de
et de
change
en
, au moyen des
équations (1), (3), (5) et
. Nous omettons, ce
calcul plus long que difficile.
2o. Toute transformation déduite des formules sera semblable
à la proposée ; car
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![{\displaystyle -}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bd52ce670743d3b61bec928a7ec9f47309eb36) |
![{\displaystyle {\frac {1}{m}}\{\beta t-(B\beta +C\delta )u\}\times {\frac {1}{m}}\{\gamma t+(A\alpha +B\gamma )u\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4148df5a2c9e9ef42f7c2139dc2061fe25e67d7) |
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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![{\displaystyle {\frac {1}{m^{2}}}(\alpha \delta -\beta \gamma )(t^{2}-Du^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53268181c9beae73f4123ed3b583220e3fe84d4) |
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![{\displaystyle =}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505a4ceef454c69dffd23792c84b90f488543743) |
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. |
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3o. Si les formes
et
ont des déterminans inégaux, il peut
se faire que les formules (I) renferment des fractions, par la
substitution de certaines valeurs de
et de
, et que partant il
faille les rejeter ; mais toutes les autres seront des transformations
convenables, et seront les seules.
4o. Si les formes
et
ont des déterminans égaux, et que
parconséquent elles soient équivalentes, les formules (I) ne pourront jamais donner de transformations qui renferment des fractions, et parconséquent elles donnent la solution complète du
problème.
En effet, par le théorème du no précédent, on sait que dans ce
cas
sera aussi diviseur commun de
,
,
; or puisque
, on a
; donc
sera
divisible par
, et partant,
, ou, puisque
est divisible par
,
sera divisible par
ou
par
. Donc
et
seront entiers, et partant, comme la différence
de ces deux quantités est paire, elles seront ou toutes
deux impaires, ou toutes deux paires ; si elles étaient impaires,