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des $n$ équations suivantes résolues par rapport à $\mathrm {PQ\ldots ST}$

$(2)\qquad {\begin{cases}{\frac {d^{n}u_{1}}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}u_{1}}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}u_{1}}{dx^{n-2}}}+\ldots +\mathrm {S} {\frac {du_{1}}{dx}}+\mathrm {T} u_{1}=0\\{\frac {d^{n}u_{2}}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}u_{2}}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}u_{2}}{dx^{n-2}}}+\ldots +\mathrm {S} {\frac {du_{2}}{dx}}+\mathrm {T} u_{2}=0\\{\frac {d^{n}u_{3}}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}u_{3}}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}u_{3}}{dx^{n-2}}}+\ldots +\mathrm {S} {\frac {du_{3}}{dx}}+\mathrm {T} u_{3}=0\\\ldots \\{\frac {d^{n}u_{n}}{dx^{n}}}+\mathrm {P} {\frac {d^{n-1}u_{n}}{dx^{n-1}}}+\mathrm {Q} {\frac {d^{n-2}u_{n}}{dx^{n-2}}}+\ldots +\mathrm {S} {\frac {du_{n}}{dx}}+\mathrm {T} u_{n}=0\end{cases}}$

Or ces équations doivent être parfaitement déterminées, puisque la forme d’une équation différentielle dépend uniquement de celle de l’équation intégrale.

Donc le dénominateur en question n’est jamais nul.

Mais on peut de plus le calculer d’avance. Soit $\mathrm {D}$ le dénominateur. Il est aisé de voir que l’on aura

${\frac {d\mathrm {D} }{dx}}=\mathrm {D} _{n}+\mathrm {D} _{n-1}+\mathrm {D} _{n-2}+\mathrm {D} _{n-3}+\ldots +\mathrm {D} _{1}$

$\mathrm {D} _{1}$ étant ce que devient $\mathrm {D}$ quand on y substitue partout ${\frac {d^{n}u}{dx^{n}}}$ à la place de ${\frac {d^{n-1}u}{dx^{n-1}}}$,

$\mathrm {D} _{n-1}$ ce que devient $\mathrm {D}$ quand on y met ${\frac {d^{n-1}u}{dx^{n-1}}}$ au lieu de ${\frac {d^{n-2}u}{dx^{n-2}}}$ et ainsi de suite

enfin $\mathrm {D} _{1}$ ce que devient $\mathrm {D}$ par la substitution de ${\frac {du}{dx}}$ à la place de $u$

Et comme toutes les parties sont nulles excepté $\mathrm {D} _{n}$ il reste

${\frac {d\mathrm {D} }{dx}}=\mathrm {D} _{n}$

Mais on a d’ailleurs

$\mathrm {P} =-{\frac {\mathrm {D} _{n}}{\mathrm {D} }}$

Puisque $-\mathrm {D} _{n}$ est le numérateur de l’expression de $\mathrm {P}$ tirée de (2).

Donc $\mathrm {D} =e^{-\int \mathrm {P} dx}$ valeur cherchée du dénominateur.

On pourrait de cette dernière formule déduire celle que nous avons trouvée plus haut, en considérant une équation linéaire de