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Dans un mémoire sur la théorie des Équations, j’ai fait voir comment on peut résoudre une équation algébrique de degré premier $m$, dont les racines sont $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1}$, quand on suppose connue la valeur d’une fonction des racines qui ne demeure invariable que par les substitutions de la forme $(x_{k},x_{ak+b})$. Or il arrive, par un hasard que nous n’avions pas prévu, que la Méthode proposée dans ce mémoire s’applique avec succès à la division d’une fonction elliptique de première classe en un nombre premier de parties égales. Nous pourrions, à la rigueur, nous contenter de donner cette division, et le problème de la section des fonctions de première classe pourrait être considéré comme résolu.

Mais, afin de rendre cette solution plus générale, nous nous proposerons de diviser une fonction elliptique de première classe en $m$ parties égales, $m$ étant = $p^{n}$ et $p$ premier.

Pour cela nous étendons d’abord la méthode exposée dans le mémoire cité, au cas où le degré de l’équation serait une puissance de nombre premier. Nous supposerons toujours que les racines soient $x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1}$, et que l’on connaisse la valeur d’une fonction de ces racines qui ne demeure invariable que pour des substitutions de la forme (k, ak + b).

Dans cette expression, k et ak + b signifieront les restes minima de ces quantités par rapport à $m$. Parmi les substitutions de cette forme, que, pour abréger, nous appelerons substitutions linéaires, il est clair que l’on ne peut admettre que celles où a est premier avec $m$, sans quoi une même ak + b remplacerait à la fois plusieurs k.

Cela posé, passons à la resolution de la classe d’équations indiquée.

§ 1. Résolution de l’équation algébrique de degré $p^{n}$ en y supposant connue la valeur d’une fonction qui n’est invariable que par des substitutions linéaires.

La congruence k = ak + b n’étant pas soluble pour plus d’une

1. Trois feuilles (20 × 15) écrites sur les deux faces.