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M

Note^[1].

On appèle équations non-primitives les équations qui, étant, par exemple du degré mn se décomposent en m facteurs du degré n au moyen d’une seule équation du degré m. Ce sont les Équations de M^r Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d’une pareille simplification. Je suis, à l’égard des Équations primitives, parvenu aux résultats suivants :

1^o Pour qu’une équation primitive de degré $m$ soit résoluble par radicaux, il faut que $m=p^{\nu },p$ étant un nombre premier

2^o Si l’on excepte le cas de $m=9$ et $m=p^{p}$, l’équation devra être telle que deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

3^o Dans le cas de $m=p^{p}$, deux des racines étant connues, les autres doivent s’en déduire du moins par un seul radical du degré $p$.

4^o Enfin dans le cas de $m=9$, l’équation doit être du genre de celles qui déterminent la trisection des fonctions Elliptiques.

La démonstration de ces propositions est fondée sur la théorie des permutations.

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1. Une seule page de format 20 × 15. Ce fragment et le suivant doivent être rapprochés de l’Analyse d’un Mémoire sur la résolution algébrique des équations, qui a été publiée dans le Bulletin de Férussac (Œuvres, p. 11), et dont les premières lignes sont identiques à celles du fragment M.