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H

[Première feuille]^[1].

Permutations. Nombres de lettres m.

Substitutions. Notation.

Période. Substitutions inverses. Substitutions semblables. Substitutions circulaires. Ordre. Autres substitutions.

Groupes. Groupes semblables. Notation.

Théorème I. Les Permutations communes à deux groupes forment un groupe.

Théorème II. Si un groupe est contenu dans un autre, celui-ci sera la somme d’un certain nombre de groupes semblables au premier, qui en sera dit un diviseur.

Théorème III. Si le nombre des permutations d’un groupe est divisible par p (p étant premier), ce groupe contiendra une substitution dont la période sera de p termes.

Réduction des groupes, dépendants ou indépendants. Groupes irréductibles.

Des groupes irréductibles en général.

Théorème. Parmi les permutations d’un groupe, il y en a toujours une où une lettre donnée occupe une place donnée, et, si l’on ne considère dans un groupe irréductible que les permutations où une même lettre occupe une même place et qu’on fasse abstraction de cette lettre, les permutations qu’on obtiendra ainsi formeront un groupe. Soit $n$ le nombre des permutations de ce dernier $mn$^[2].

Nouvelle démonstration du théorème relatif aux groupes alternes.

Théorème. Si un groupe contient une substitution complète de l’ordre $m$ et une de l’ordre $m-1$, il sera irréductible.

1. Ce fragment occupe deux feuilles, écrites sur les deux faces, du format 23 × 18.
2. Cette phrase elliptique a été ajoutée dans une fin de ligne et dans l’interligne au-dessous.