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voir que, dans ce groupe, deux lettres quelconques prises à volonté feront partie d’un certain système de $\mathrm {P}$ lettres conjointes, et ne feront partie que d’un seul.

Car, en premier lieu, s’il y avait deux lettres qui ne pussent faire partie d’un même système de $\mathrm {P}$ lettres conjointes, le groupe $\mathrm {G}$, qui est tel que l’une quelconque de ses substitutions transforme les unes dans les autres toutes les substitutions du groupe $\mathrm {H}$, serait non primitif, ce qui est contre l’hypothèse.

En second lieu, si deux lettres faisaient partie de plusieurs systèmes différents, il s’ensuivrait que les groupes qui répondent aux divers systèmes de $\mathrm {P}$ lettres conjointes ne seraient pas primitifs, ce qui est encore contre l’hypothèse.

Cela posé, soient

${\begin{array}{cccccc}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{\mathrm {P} -1},\\b_{0},&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{\mathrm {P} -1},\\c_{0},&c_{1},&c_{2},&\ldots ,&c_{\mathrm {P} -1},\\\end{array}}$

les $\mathrm {N}$ lettres : supposons que chaque ligne horizontale représente un système de lettres conjointes. Soient

$a_{0},\,a_{0,1},\,a_{0,2},\,\ldots ,\,a_{0,\mathrm {P} -1}.$

$\mathrm {P}$ lettres conjointes toutes situées dans la première colonne verticale. (Il est clair que nous pouvons faire qu’il en soit ainsi, en intervertissant l’ordre des lignes horizontales.)

Soient, de même,

$a_{1,0},\,a_{1,1},\,a_{1,2},\,a_{1,3},\,\ldots ,\,a_{1,\mathrm {P} -1}$

$\mathrm {P}$ lettres conjointes toutes situées dans la seconde colonne verticale, en sorte que

$a_{1,0},\,a_{1,1},\,a_{1,2},\,a_{1,3},\,\ldots ,\,a_{1,\mathrm {P} -1}$

appartiennent respectivement aux mêmes lignes horizontales que

$a_{0,0},\,a_{0,1},\,a_{0,2},\,a_{0,3},\,\ldots ,\,a_{0,\mathrm {P} -1};$

soient, de même, les systèmes de lettres conjointes

${\begin{array}{cccccc}a_{2,0},&a_{2,1},&a_{2,2},&a_{2,3},&\ldots ,&a_{2,\mathrm {P} -1},\\a_{3,0},&a_{3,1},&a_{3,2},&a_{3,3},&\ldots ,&a_{3,\mathrm {P} -1},\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\end{array}}$