On raisonnera sur ce groupe comme sur le précédent, et il s’ensuivra que le premier groupe dans l’ordre des décompositions, c’est-à-dire le groupe actuel de l’équation, ne peut contenir que des substitutions de la forme
Donc, si une équation irréductible de degré premier est soluble par radicaux, le groupe de cette équation ne saurait contenir que des substitutions de la forme
et étant des constantes.
Réciproquement, si cette condition a lieu, je dis que l’équation sera soluble par radicaux. Considérons, en effet, les fonctions
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étant une racine ième de l’unité, une racine primitive de .
Il est clair que toute fonction invariable par les substitutions circulaires des quantités sera, dans ce cas, immédiatement connue. Donc, on pourra trouver par la méthode de M. Gauss pour les équations binômes. Donc, etc.
Ainsi, pour qu’une équation irréductible de degré premier soit soluble par radicaux, il faut et il suffit que toute fonction invariable par les substitutions
soit rationnellement connue.
Ainsi, la fonction
devra, quel que soit , être connue.
