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Application aux équations irréductibles de degré premier.

PROPOSITION VI.

Lemme. — Une équation irréductible de degré premier ne peut devenir réductible par l’adjonction d’un radical dont l’indice serait autre que le degré même de l’équation.

Car si $r,r',r'',\ldots$ sont les diverses valeurs du radical, et $\mathrm {F} x=0$ l’équation proposée, il faudrait que $\mathrm {F} x$ se partageât en facteurs

$f(x,r)\times f(x,r')\times \ldots ,$

tous de même degré, ce qui ne se peut, à moins que $f(x,r)$ ne soit du premier degré en $x$.

Ainsi, une équation irréductible de degré premier ne peut devenir réductible, à moins que son groupe ne se réduise à une seule permutation.

PROPOSITION VII.

Problème. — Quel est le groupe d’une équation irréductible d’un degré premier $n$, soluble par radicaux ?

D’après la proposition précédente, le plus petit groupe possible, avant celui qui n’a qu’une seule permutation, contiendra $n$ permutations. Or, un groupe de permutations d’un nombre premier n de lettres ne peut se réduire à n permutations, à moins que l’une de ces permutations ne se déduise de l’autre par une substitution circulaire de l’ordre $n$. (Voir le Mémoire de M. Cauchy, Journal de l’École Polytechnique, XVII^e cahier.) Ainsi, l’avant-dernier groupe sera

(G)$\qquad \left\{{\begin{array}{llllllll}x_{0},&x_{1},&x_{2},&x_{3},&\ldots ,&x_{n-3},&x_{n-2},&x_{n-1}\\x_{1},&x_{2},&x_{3},&x_{4},&\ldots ,&x_{n-2},&x_{n-1},&x_{0}\\x_{2},&x_{3},&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&x_{n-1},&x_{0},&x_{1}\\\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,&\ldots ,\\x_{n-1},&x_{0},&x_{1},&\ldots ,&\ldots ,&x_{n-4},&x_{n-3},&x_{n-2}\\\end{array}}\right.$

$x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n-1}$ étant les racines.