Théorème. — Si l’on adjoint à une équation la valeur numérique d’une certaine fonction de ses racines, le groupe de l’équation s’abaissera de manière à n’avoir plus d’autres permutations que celles par lesquelles cette fonction est invariable.
En effet, d’après la proposition I, toute fonction connue doit être invariable par les permutations du groupe de l’équation.
Problème. — Dans quel cas une équation est-elle soluble par de simples radicaux ?
J’observerai d’abord que, pour résoudre une équation, il faut successivement abaisser son groupe jusqu’à ne contenir plus qu’une seule permutation. Car, quand une équation est résolue, une fonction quelconque de ses racines est connue, même quand elle n’est invariable par aucune permutation.
Cela posé, cherchons à quelle condition doit satisfaire le groupe d’une équation, pour qu’il puisse s’abaisser ainsi par l’adjonction de quantités radicales.
Suivons la marche des opérations possibles dans cette solution, en considérant comme opérations distinctes l’extraction de chaque racine de degré premier.
tion en est de la forme , et que les racines de l’unité se trouvent au nombre des quantités précédemment adjointes, les groupes dont il est question dans le Théorème II jouiront, de plus, de cette propriété que les substitutions de lettres par lesquelles on passe d’une permutation à une autre dans chaque groupe soient les mêmes pour tous les groupes. En effet, dans ce cas, il revient au même d’adjoindre à l’équation telle ou telle valeur de . Par conséquent, ses propriétés doivent être les mêmes après l’adjonction de telle ou telle valeur. Ainsi son groupe doit être le même quant aux substitutions (Proposition I, scolie). Donc, etc.
Tout cela est effacé avec soin ; le nouvel énoncé porte la date 1832 et montre, par la manière dont il est écrit, que l’auteur était extrêmement pressé, ce qui confirme l’assertion que j’ai avancée dans la Note précédente. (A. Ch.)
