le groupe peut se partager en groupes, que l’on obtient chacun en opérant sur les permutations de une même substitution ; en sorte que
Et aussi il peut se diviser en groupes qui ont tous les mêmes substitutions, en sorte que
Ces deux genres de décompositions ne coïncident pas ordinairement. Quand ils coïncident, la décomposition est dite propre.
Il est aisé de voir que, quand le groupe d’une équation n’est susceptible d’aucune décomposition propre, on aura beau transformer cette équation, les groupes des équations transformées auront toujours le même nombre de permutations.
Au contraire, quand le groupe d’une équation est susceptible d’une décomposition propre, en sorte qu’il se partage en groupes de permutations, on pourra résoudre l’équation donnée au moyen de deux équations : l’une aura un groupe de permutations, l’autre un de permutations.
Lors donc qu’on aura épuisé sur le groupe d’une équation tout ce qu’il y a de décompositions propres possibles sur ce groupe, on arrivera à des groupes qu’on pourra transformer, mais dont les permutations seront toujours en même nombre.
Si ces groupes ont chacun un nombre premier de permutations, l’équation sera soluble par radicaux ; sinon, non.
Le plus petit nombre de permutations que puisse avoir un groupe indécomposable, quand ce nombre n’est pas premier, est
2o Les décompositions les plus simples sont celles qui ont lieu par la méthode de M. Gauss.
Comme ces décompositions sont évidentes, même dans la forme actuelle du groupe de l’équation, il est inutile de s’arrêter longtemps sur cet objet.
Quelles décompositions sont praticables sur une équation qui ne se simplifie pas par la méthode de M. Gauss ?
J’ai appelé primitives les équations qui ne peuvent se simplifier par la méthode de M. Gauss ; non que ces équations soient
