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ANALYSE
d’un
MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS^[1].

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On appelle équations non primitives les équations qui, étant, par exemple, du degré $mn$, se décomposent en $m$ facteurs du degré $n$, au moyen d’une seule équation du degré $m$. Ce sont les équations de M. Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d’une pareille simplification. Je suis, à l’égard des équations primitives, parvenu aux résultats suivants :

1^o Pour qu’une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que, deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

2^o Pour qu’une équation primitive du degré $m$ soit résoluble par radicaux, il faut que $m=p^{\nu }$, $p$ étant un nombre premier.

3^o À part les cas mentionnés ci-dessous, pour qu’une équation primitive du degré $p^{\nu }$ soit résoluble par radicaux, il faut que, deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s’en déduisent rationnellement.

À la règle précédente échappent les cas très particuliers qui suivent :

1^o Le cas de $m=p^{\nu }=9,=25$ ;

2^o Le cas de $m=p^{\nu }=4$ et généralement celui où, $a^{\alpha }$ étant un diviseur de ${\frac {p^{\nu }-1}{p-1}}$, on aurait $a$ premier, et

${\frac {p^{\nu }-1}{a^{\alpha }(p-1)}}\nu =p\;(\operatorname {mod.} \,a^{\alpha }).$

Ces cas s’écartent toutefois fort peu de la règle générale.

Quand $m=9,=25$, l’équation devra être du genre de celles qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions elliptiques.

1. Bulletin des Sciences mathématiques de M. Férussac, t. XIII, p. 271 (année 1830, cahier d’avril). (J. Liouville.)