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Nous pouvons également donner la loi simple ingénieusement déduite des travaux d’Einstein par Schwarzschild, dans un cas particulièrement simple.

Ce savant cherche la solution des équations $\scriptstyle {\rm {G}}_{\mu \nu }=0$ pour le champ d’une particule au repos à l’origine des coordonnées d’espace. Il choisit des coordonnées polaires $\scriptstyle r,\theta ,\varphi ,t$, et écrit l’expression qui nous est maintenant bien connue

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+dt^{2}.$

Il arrive ainsi à

$ds^{2}=-e^{\lambda }dr^{2}-e^{\mu }(r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})+e^{\nu }dt^{2},$

et, par un changement de variables,

$ds^{2}=-e^{\lambda }dr^{2}-r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2}+e^{\nu }dt^{2},$

Ce qui donne en identifiant aux coefficients correspondants de Riemann

$g_{11}=-e^{\lambda },g_{22}=-r^{2},g_{33}=-r^{2}\sin ^{2}\theta ,g_{44}=e^{\nu },$

d’où le déterminant

$g=-e^{\lambda +\nu }r^{4}\sin ^{2}\theta .$

Les $\scriptstyle {\rm {G}}_{\mu \nu }=0$ sont dix équations entre les $\scriptstyle g$, dont quatre relations identiques, ce qui réduit à six le nombre des équations indépendantes. En remplaçant dans ces équations les $\scriptstyle g$ par les valeurs que nous venons de trouver, nous obtiendrons pour $\scriptstyle ds^{2}$ une relation indépendante de $\scriptstyle \lambda ,\mu ,\nu$ et qui sera la loi cherchée.