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coefficients ne peuvent être que des fonctions de la vitesse $v$ et doivent se correspondre dans les deux systèmes en changeant le signe de $v$.

Cherchons ces coefficients $a_{1}a_{2}$, etc.

Écrivons :

${\begin{array}{c}x^{\prime }=a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z+a_{14}t\\y^{\prime }=a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z+a_{24}t\\z^{\prime }=a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z+a_{34}t\\t^{\prime }=a_{41}x+a_{42}y+a_{43}z+a_{44}t\end{array}}$

Mais remarquons que, par suite de la coïncidence continue des plans des $xz$ et des $xyz$ avec ceux des $x^{\prime }z^{\prime }$ et des $x^{\prime }y^{\prime }$, on a toujours :

${\begin{array}{lccc}{\text{ 1° }}&x^{\prime }=0{\text{ et }}x=vt&{\text{ quels que soient }}&y{\text{ et }}z,\\{\text{ 2° }}&y^{\prime }=0{\text{ et }}y=0&{\text{ —— }}&x,z{\text{ et }}t,\\{\text{ 3° }}&z^{\prime }=0{\text{ et }}z=0&{\text{ —— }}&x,y{\text{ et }}t,\end{array}}$

Donc : 1^o $x^{\prime }$ est indépendant de $y$ et $z$, autrement dit :

$a_{12}=0$ et $a_{13}=0$

2^o $y^{\prime }$ est indépendant de $x$, de $z$ et de $t$, autrement dit :

$a_{21}=0$, $a_{23}=0$ et $a_{24}=0$

3^o $z^{\prime }$ est indépendant de $x$, de $y$ et de $t$, autrement dit :

$a_{31}=0$, $a_{32}=0$ et $a_{34}=0$

De plus

4^o la relation entre $y$ et $y^{\prime }$ doit être analogue