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On peut passer du premier au second par les formules suivantes :

${\begin{array}{c}x'=a_{1}+b_{1}x+c_{1}y+d_{1}z,\\y'=a_{2}+b_{2}x+c_{2}y+d_{2}z,\\z'=a_{3}+b_{3}x+c_{3}y+d_{3}z,\end{array}}$

et du second au troisième par :

${\begin{array}{c}x''=m_{1}+n_{1}x'+p_{1}y'+q_{1}z',\\y''=m_{2}+n_{2}x'+p_{2}y'+q_{2}z',\\z''=m_{3}+n_{3}x'+p_{3}y'+q_{3}z',\end{array}}$

où les coefficients des coordonnées sont des paramètres qui définissent la position des axes et sont eux-mêmes liés par les conditions d’orthogonalité.

Le passage du premier système d’axes au troisième se ferait directement par des formules de transformation analogues et les valeurs finales obtenues seraient exactement les mêmes $\scriptstyle x'',y'',z''$. On exprime ce fait en disant que l’ensemble des transformations constitue un groupe.

L’invariance peut encore être mise en évidence d’une autre manière. Prenons deux points quelconques $\scriptstyle x_{0},y_{0},z_{0}$ et $\scriptstyle x_{1},y_{1},z_{1}$, rapportés à un système de coordonnées. Le postulat d’invariance écrit plus haut pour la longueur d’une droite s’écrira ici :

$(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}+(z_{1}-z_{0})^{2}={\text{constante}}\ d^{2}$

c’est-à-dire exactement de la même manière