Riemann a énoncé la loi suivante implicitement admise par tous les géomètres et qu’il a dégagée, par une analyse minutieuse, des fondements de la géométrie :
« Toutes les lignes indépendamment de leur situation possèdent une longueur et chaque ligne doit être mesurable par une autre. »
Traduisons cette loi mathématiquement :
a) Prenons d’abord le cas simple et particulier d’une ligne droite rapportée à trois axes rectangulaires dans l’espace euclidien. Soient : , les coordonnées des points extrêmes.
Nous écrivons
Qu’est-ce à dire ?
Cela signifie que, quel que soit le changement d’axes que nous effectuerons, il y aura une chose qui demeurera inchangée ; autrement dit : il existe un invariant. Nous pouvons en effet faire ressortir cette invariance par une autre démarche. Soient les coordonnées d’un point déterminé dans un premier système d’axes ; les coordonnées de ce même point dans un deuxième système ; enfin , les coordonnées de ce même point dans un troisième système d’axes.
