Comme les rapports et sont connus, cette égalité nous permet de calculer le rapport du diamètre du Soleil au diamètre de la Terre.
En multipliant le résultat par le rapport connu nous obtenons le rapport du diamètre de la Lune au diamètre de la Terre.
La connaissance du rapport et du diamètre apparent du Soleil détermine la valeur du rapport de la distance entre le Soleil et la Terre au diamètre de la Terre.
Enfin la connaissance du rapport et du diamètre apparent de la Lune détermine la valeur du rapport de la distance de la Lune à la Terre au diamètre de la Terre
Nous savons donc, en prenant pour unité le diamètre de la Terre, évaluer le diamètre du Soleil, le diamètre de la Lune, la distance du Soleil à la Terre, enfin la distance de la Lune à la Terre.
Le problème à résoudre nous apparaît aujourd’hui comme extrêmement facile. Il offrait en réalité, au temps d’Aristarque, les plus grandes difficultés.
Il s’agit d’effectuer deux calculs trigonométriques très simples, l’évaluation du cosinus d’un angle donné, la longueur de l’arc qui correspond à un nombre donné de degrés. Or, au temps d’Aristarque de Samos, la trigonométrie n’était pas constituée ; on ne possédait encore qu’une évaluation très grossière du rapport de la circonférence au diamètre ; des calculs que nous regardons comme un jeu ne pouvaient alors être faits. Par des artifices géométriques d’une subtile ingéniosité, Aristarque est parvenu à déterminer une limite inférieure et une limite supérieure pour chacune des grandeurs qu’il se proposait de connaître. L’habileté et la rigueur de ses démonstrations ne sauraient être trop louées.
Il trouve ainsi :
1o Que le rapport entre les distances du Soleil à la Terre et de la Lune à la Terre, qui est égal au rapport des diamètres du Soleil et de la Lune, est supérieur à 18 et inférieur à 20 ; 2o Que le rapport du diamètre du Soleil au diamètre de la Terre est supérieur à et inférieur à ;
