Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 4.djvu/387

ensemble égaux à zero, car on auroit x = C, & y = F ; ce qui ne se peut, puisque x & y qui sont des indéterminées, ne peuvent être égales à des constantes. On ne doit point non plus supposer en même tems B & E = 0, ni A & D = 0 ; car substituant les valeurs de x & de y, on n’auroit plus dans l’équation de la courbe qu’une seule indéterminée u. Or il faut qu’il y en ait toûjours deux.

Il est visible que si on substitue à la place de x & de y les valeurs ci-dessus dans l’équation de la courbe, l’équation n’augmentera pas de dimension ; car on détermine la dimension & le degré de l’équation d’une courbe par la plus haute dimension à laquelle se trouve l’une ou l’autre des inconnues x, y, ou le produit des inconnues ; par exemple, l’équation d’une courbe est du troisieme degré, lorsqu’elle contient le cube $\scriptstyle y^{3}$, ou le cube $\scriptstyle x^{3}$, ou le produit xyy ou xxy, ou toutes ces quantités à la fois, ou quelques-unes seulement. Or comme dans les équations $\scriptstyle x=Az+Bu+C$, $\scriptstyle y=Dz+Eu+F$ z & u ne montent qu’au premier degré, il est évident que si on substitue ces valeurs dans l’équation en x & en y, la dimension de l’équation & son degré n’augmentera pas. Il est évident, par la même raison, qu’elle ne diminuera pas ; car si elle diminuoit, c’est-à-dire, si l’équation en z & en u étoient de moindre dimension que l’équation en x & en y, alors substituant pour z & pour u leurs valeurs en x & en y, lesquelles sont d’une seule dimension, comme il est aisé de le voir, on retrouveroit l’équation en x & en y, & par conséquent on parviendroit à une équation d’une dimension plus élevée que l’équation en z & en u ; ce qui est contre la premiere proposition.

Donc en général, quelque transformation d’axe que l’on fasse, l’équation de la courbe ne change point de dimension. On peut voir dans l’ouvrage de M. l’abbé de Gua, & dans l’introduction à l’analyse des lignes courbes par M. Cramer, les manieres abrégées de faire le calcul pour la transformation des axes. Mais ce n’est pas de quoi il s’agit ici, cette abréviation de calcul étant indifférente en elle-même aux propriétés de la courbe. Voyez aussi Transformation des axes.

Courbes algébriques du même genre ou du même ordre, ou du même degré, sont celles dont l’équation monte à la même dimension. V. Ordre & Degré.

Les courbes géométriques étant une fois déterminées par la relation des ordonnées aux abscisses, on les distingue en différens genres ou ordres ; ainsi les lignes droites sont les lignes du premier ordre ; les lignes du second ordre sont les sections coniques.

Il faut observer qu’une courbe du premier genre est la même qu’une ligne du second ordre, parce que les lignes droites ne sont point comptées parmi les courbes, & qu’une ligne du troisieme ordre est la même chose qu’une courbe du second genre. Les courbes du premier genre sont donc celles dont l’équation monte à deux dimensions ; dans celles du second genre, l’équation monte à trois dimensions ; à quatre, dans celles du troisieme genre, &c.

Par exemple, l’équation d’un cercle est $\scriptstyle y^{2}=2ax-xx$ ou $\scriptstyle y^{2}=a^{2}-x^{2}$ ; le cercle est donc une courbe du premier genre & une ligne du second ordre.

De même la courbe, dont l’équation est $\scriptstyle ax=y^{2}$, est une courbe du premier genre ; & celle qui a pour équation $\scriptstyle a^{2}x=y^{3}$, est courbe du second genre & ligne du troisieme ordre.

Sur les différentes courbes du premier genre & leurs propriétés, voyez Sections coniques au mot Conique.

On a vû à cet article Conique, quelle est l’équation la plus générale des lignes du second ordre, & on trouve que cette équation a $\scriptstyle 3+2+1$

termes ; on trouvera de même que l’équation la plus générale des lignes du troisieme ordre est $\scriptstyle y^{3}+axy^{2}+bxxy+cx^{3}+ey^{2}+fxy+gxx+hx+iy+l=0$, & qu’elle a $\scriptstyle 4+3+2+1$ termes, c’est-à-dire 10 ; en général, l’équation la plus composée de l’ordre n, aura un nombre de termes $\scriptstyle =(n+2)\times ({\frac {n+1}{2}})$, c’est-à-dire, à la somme d’une progression arithmétique, dont n + 1 est le premier terme & 1 le dernier. Voyez Progression arithmétique.

Il est clair qu’une droite ne peut jamais rencontrer une ligne du n^e ordre qu’en n points tout au plus ; car quelque transformation qu’on donne aux axes, l’ordonnée n’aura jamais que n valeurs réelles tout au plus, puisque l’équation ne peut être que du degré n. On peut voir dans l’ouvrage de M. Cramer, déja cité, plusieurs autres propositions, auxquelles nous renvoyons, sur le nombre des points, où les lignes de différens ordres ou du même ordre peuvent se couper. Nous dirons seulement que l’équation d’une courbe du degré n étant ordonnée, par exemple, par rapport à y, en sorte que $\scriptstyle y^{n}$ n’ait pour coefficient que l’unité, cette équation aura autant de coefficiens qu’il y a de termes, moins un, c’est-à-dire, $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$. Donc si on donne un pareil nombre de points, la courbe du n^e ordre qui doit passer par ces points sera facilement déterminable ; car en prenant un axe quelconque à volonté, & menant des points donnés des ordonnées à cet axe, on aura $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$ ordonnées connues, ainsi que les abscisses correspondantes, & par conséquent on pourra former autant d’équations, dont les inconnues seront les coefficiens de l’équation générale. Ces équations ne donneront jamais que des valeurs linéaires pour les coefficiens, qu’on pourra par conséquent trouver toûjours facilement.

Au reste il peut arriver que quelques-uns des coefficiens soient indéterminés, auquel cas on pourra faire passer plusieurs lignes du même ordre par les points donnés ; ou que les points donnés soient tels que la courbe n’y puisse passer, pour lors l’équation sera réductible en plusieurs autres rationnelles. Par exemple, qu’on propose de faire passer une section conique par cinq points donnés (car n étant = 2, $\scriptstyle {\frac {nn+3n}{2}}$ est = 5) : il est visible que si trois de ces points sont en ligne droite, la section n’y pourra passer ; car une section conique ne peut jamais être coupée qu’en deux points par une ligne droite, puisque son équation n’est jamais que de deux dimensions. Qu’arrivera-t-il donc ? l’équation sera réductible en deux du premier degré, qui représenteront non une section conique, mais le système de deux lignes droites, & ainsi des autres.

On peut remarquer aussi que si quelques coefficiens se trouvent infinis, l’équation se simplifie ; car les autres coefficiens sont nuls par rapport à ceux-là, & on doit par conséquent effacer les termes où se trouvent ces coefficiens nuls.

M. Newton a fait sur les courbes du second genre un traité intitulé, enumeratio linearum tertii ordinis. Les démonstrations des différentes propositions de ce traité se trouvent pour la plûpart dans les ouvrages de MM. Stirling & Maclaurin sur les courbes, & dans les autres ouvrages dont nous avons déjà parlé. Nous allons rapporter sommairement quelques-uns des principaux articles de l’ouvrage de M. Newton. Cet auteur remarque que les courbes du second genre & des genres plus élevés, ont des propriétés analogues à celles des courbes du premier genre : par exemple, les sections coniques ont des diametres & des axes ; les lignes que ces diametres coupent en deux parties