Les forces centrales sont en raison composée de la directe des diametres & de la réciproque des quarrés des tems employés à parcourir les circonférences entieres.
6°. Si les tems dans lesquels les corps parcourent les circonférences entieres ou des arcs semblables, sont comme les diametres des cercles, les forces centrales seront alors réciproquement comme ces mêmes diametres.
7°. Si un corps se meut uniformément dans la circonférence d’un cercle avec la vîtesse qu’il acquiert en tombant de la hauteur AF, nous avons dit que la force centrale sera à la gravité comme le double de la hauteur AF est au rayon CA ; & par conséquent si on nomme G la gravité du corps, la force centrifuge sera . Par là on connoîtra quelle doit être la force centrifuge & la vîtesse d’un corps attaché à un fil, pour qu’il ne rompe point ce fil en circulant horisontalement : car supposons qu’un poids de trois livres, par exemple, rompe le fil, & que le poids du corps soit de deux livres, on aura G égal à deux livres, & devra être plus petit que trois livres, d’où l’on tire : ainsi la vîtesse que le corps doit avoir pour ne point rompre le fil, doit être plus petite que celle qu’il acquerroit en tombant d’une hauteur égale aux du rayon. Si le corps circuloit verticalement, il faudroit que fût < trois livres.
8°. Si un corps grave se meut uniformément dans la circonférence d’un cercle, & avec la vîtesse qu’il peut acquérir en tombant d’une hauteur égale à la moitié du rayon, la force centrale sera alors égale à la gravité ; réciproquement si la force centrale est égale à la gravité, le corps se mouvra dans la circonférence du cercle avec la même vîtesse qu’il auroit acquise en tombant d’une hauteur égale à la moitié du rayon.
9°. Si la force centrale est égale à la gravité, le tems qu’elle employera à faire parcourir la circonférence entiere, sera au tems dans lequel un corps grave tomberoit de la moitié du rayon, comme la circonférence est au rayon.
10°. Si deux corps se meuvent dans des circonférences inégales & avec des vîtesses inégales, de sorte que les vîtesses soient entr’elles en raison réciproque de la soûdoublée des diametres, les forces centrales seront en raison réciproque de la doublée des distances au centre des forces.
11°. Si deux corps se meuvent dans des circonférences inégales avec des vîtesses qui soient entre elles réciproquement comme les diametres, les forces centrales seront en raison inverse des cubes de leur distance au centre des forces.
12°. Si les vitesses de deux corps qui se meuvent dans des circonférences inégales, sont en raison inverse de la soûdoublée des diametres, les tems qu’ils employeront à faire leur révolution entiere ou à parcourir des arcs semblables, seront en raison inverse de la triplée des distances du centre des forces : c’est pourquoi si les forces centrales sont en raison inverse de la doublée des distances du centre, les tems que les corps employeront à faire leur révolution entiere ou à parcourir des arcs semblables, seront en raison inverse de la triplée des distances.
13°. Ces différentes lois sont aisées à déduire de la formule que nous avons donnée dans l’art. 1. pour la comparaison des forces centrales entre elles. Or pour comparer les forces centrales sur des courbes autres que des cercles, il faut prendre au lieu des rayons des cercles, les rayons de la développée de ces courbes qui changent à chaque point, & qu’on trouve par des méthodes géométriques : d’où l’on voit que quand un corps décrit une courbe autre qu’un cer-
au lieu qu’elle est toûjours la même, quand le corps décrit un cercle. Il faudra de plus diviser la quantité trouvée par le rapport du sinus total au cosinus de l’angle que la direction de la force centrale fait avec la tangente.
14°. Si un corps tend à se mouvoir suivant AD (Fig. 25.), & qu’il soit en même tems sollicité par une force centripete vers un point fixe C, placé dans le même plan, il décrira alors une courbe dont la concavité sera tournée vers 6, & dont les différentes aires comprises entre deux rayons quelconques AC & CB, seront proportionnels aux tems employés à parcourir ces aires, c’est-à-dire à parvenir de l’extrémité d’un de ces rayons à l’extrémité de l’autre. Car sans la force centrale qui pousse suivant BF, le corps parcourroit dans des tems égaux BD=AB : mais à cause de la force centrale, il décrira la diagonale BE du parallelogramme FBDE dans le même tems qu’il a décrit AB. Or le triangle CBA=CBD, à cause de BD=AB ; & à cause des paralleles DE, FB, on a CBE=CBD. Donc CBE=CAB. Donc, &c.
15°. Quelque différentes que soient des forces centrales dans des cercles, on pourra toûjours les comparer ensemble : car elles seront toûjours en raison composée de celle des quantités de matiere que contiennent les mobiles, de celles de leur distance au centre, & enfin de l’inverse de la doublée des tems périodiques. Si l’on multiplie donc la quantité de matiere de chaque mobile par sa distance du centre, & qu’on divise le produit par le quarré du tems périodique, les quotiens qui résulteront de ces opérations seront entre eux dans la raison des forces centrales : c’est une suite de l’article 1.
16°. Si les quantités de matieres sont égales, il faudra diviser les distances par les quarrés des tems périodiques, pour déterminer le rapport des forces centrales.
17°. Lorsque la force par laquelle un corps est sollicité vers un point, n’est pas par-tout la même, mais qu’elle augmente ou diminue à proportion de la distance du centre ; cette nouvelle condition fait décrire alors au mobile différentes courbes plus ou moins composées. Si la force décroît en raison inverse des quarrés des distances à ce point, le mobile décrira alors une ellipse, qui est une courbe ovale, dans laquelle se trouvent deux points qu’on nomme foyers, dont l’un est alors occupé par le point T, vers lequel se dirige la force dont nous parlons ; de façon qu’à chaque révolution le corps s’approche une fois de ce point, & s’en éloigne une fois. Le cercle appartient aussi à cette espece de courbe ; de sorte que dans ce cas le mobile peut aussi décrire un cercle. Le mobile peut aussi, en lui supposant une plus grande vîtesse, décrire les deux autres sections coniques, la parabole, & l’hyperbole ; lesquelles ne retournent point sur elles-mêmes. Si la force croît en même tems que la distance, & en raison de la distance même, le corps décrira encore une ellipse : mais le point vers lequel se dirigera la force, sera alors le centre de l’ellipse, & le mobile à chaque révolution s’approchera deux fois & s’éloignera deux fois de ce point. Il peut arriver encore en ce cas, que le corps se meuve dans un cercle. Voyez Orbite, Planete, Trajectoire & Projectile. Voyez aussi les Principes mathém. de M. Newton, liv. I. & les Elémens de Méchan. de Wolf.
Les courbes peuvent être considérées, ou comme courbes rigoureuses, ou comme polygones infinis ; or l’expression de la force centrale est différente dans les deux cas : ce paradoxe singulier sera expliqué à l’article Courbe.
Regle centrale, c’est une regle ou une méthode qui
