Corollaire. 7. La différence d’un chiffre a pris suivant une valeur relative quelconque au même chiffre pris, suivant toute autre valeur relative, ou suivant sa valeur absolue, est un multiple de .
Cette différence (voy. Échelle arithmétique) peut être représentée généralement par . . ; mais la quantité qui multiplie a est (lemme II.) un multiple de : donc le produit même, ou la différence qu’il représente, l’est aussi.
Et ce qu’on dit d’un chiffre pris solitairement s’applique de soi-même à un nombre composé de tant de chiffres qu’on voudra ; il est clair que la différence totale aura la même propriété qu’affectent toutes & chacune des différences partiales dont elle est la somme.
8. Cela posé, revenons aux propriétés citées du nombre .
Premiere propriété. (Voyez-la n°. 2.) On peut l’énoncer ainsi : si plusieurs chiffres en nombre quelconque, pris suivant leur valeur relative, donnent un multiple de , ces mêmes chiffres pris suivant leur valeur absolue, donneront aussi un multiple de .
Démonstration. La différence des deux résultats est (coroll.) un multiple de ; mais (par supposition) le premier l’est aussi : donc (lemme I.) le second l’est pareillement.
Au reste cette démonstration est telle que sans y rien changer elle prouve également l’inverse de la proposition.
Seconde propriété. Voyez-le n°. 3.
Démonstration. En renversant l’ordre des chiffres on ne fait qu’échanger leur valeur relative ; mais (coroll.) la différence qui résulte de cet échange est un multiple de : donc, &c.
Observez que l’objet de cette seconde démonstration n’est qu’un cas très-particulier de ce qui résulte du corollaire ci-dessus ; il établit la propriété non seulement pour le cas du simple renversement des chiffres, mais généralement pour toute perturbation d’ordre quelconque, entiere ou partiale, qu’on peut supposer entr’eux.
9 Il est clair que tout sous-multiple de participera aux mêmes propriétés qu’on vient de démontrer pour même . . . . aussi 3 en notre échelle en jouit-il aussi pleinement que 9 ; 2 & 3 aussi pleinement que 6 dans l’échelle septenaire, & 1 dans toutes les échelles, parce que 1 est sous-multiple de tous les nombres.
10. Mais le nombre 9 (& ceci doit s’entendre de tout autre ) a encore une autre propriété qui jusqu’ici n’avoit point été remarquée . . . c’est que la division par 9 de tout multiple de 9 peut se réduire à une simple soustraction : en voici la pratique.
Soit 3852 (multiple de 9) proposé à diviser par 9.
Ecrivez 0 au-dessus du chiffre qui exprime les unités, & dites, qui de 0 ou (en empruntant sur tel chiffre qu’il appartiendra) qui de 10 paye reste 8 ; écrivez 8 à la gauche du 0 avec un point au-dessus, pour marquer qu’il en a été emprunté une unité, & qu’il ne doit plus être pris que pour 7.
Puis dites, qui de 7 paie 5, reste 2 ; écrivez 2 à la gauche du 8.
Enfin dites, qui de 2 ou (en empruntant) qui de 12 paie 8, reste 4, écrivez 4 à la gauche du 2 avec un point au-dessus....& tout est fait : car , montre que l’opération est consommée ; ensorte que négligeant le 0 final, le reste 428 est le quotient cherché.
On voit que cette soustraction est plus simple même que l’ordinaire, qui exige trois rangs de chiffres,
tandis que celle-ci n’en a que deux : au reste elle porte aussi sa preuve avec elle ; car si l’on ajoute (en biaisant un peu) le dernier chiffre du nombre inférieur avec le pénultieme du supérieur, le pénultieme de celui-là avec l’antépénultieme de celui-ci, & ainsi de suite, la somme vous rendra le nombre supérieur même, s’il ne s’est point glissé d’erreur dans l’opération.
11. La raison de cette pratique deviendra sensible, si l’on fait attention que tout multiple de 9 peut lui-même être conçu comme le résultat d’une soustraction. En effet, , ce qu’on peut disposer ainsi :
| s | |
| m | |
| j |
nommant s le nombre supérieur, m celui du milieu, j l’inférieur. Il suit de la disposition des chiffres que le dernier de m est le même que le pénultieme de s, le pénultieme de m le même que l’antépénultieme de s, &c.
Maintenant le nombre j étant proposé à diviser par 9, il est clair (construction) que le quotient cherché est le nombre m, mais (encore par constr.) ; d’où , & voilà la soustraction qu’il est question de faire ; mais comment y procéder, puisque s, élément nécessaire, n’est point connu ?
Au-moins en connoît-on le dernier chiffre, qui est toujours o : on peut donc commencer la soustraction. Cette premiere opération donnera le dernier chiffre de m=(suprà) au pénultieme de s ; celui-ci fera trouver le pénultieme de m=à l’antépénultieme de s, & ainsi de l’un en l’autre, le chiffre dernier trouvé de m étant celui dont on a besoin dans s pour continuer l’opération.
Dans l’addition qui sert de preuve à la regle, c’est le nombre j qu’on ajoute au nombre m, ce qui évidemment doit donner le nombre s ; car puisque , il suit que .
12. Observez (derniere figure) que dans la soustraction employée pour multiplier 428 par 9, il se fait deux emprunts, l’un sur le 8, l’autre sur le 4, & que d’un autre côté la somme des chiffres du multiple 3852 est 18, ou 9 pris deux fois, ce qui n’est point un hasard, mais l’effet d’une loi générale. La somme des chiffres du multiple contient 9 autant de fois qu’il y a eu d’emprunts dans la soustraction qui a servi à le former. On en verra plus bas la raison.
13. Il suit que si la soustraction s’exécutoit sans faire d’emprunt, la somme des chiffres du multiple seroit = 0, conséquence révoltante par l’imagination, mais qui, entendue comme il faut, malgré la contradiction qu’elle semble renfermer, ne laisse pas d’être exactement vraie.
Pour s’en convaincre, que dans le même exemple aux chiffres on substitue des lettres, ou simplement que laissant subsister les chiffres, on procede à la soustraction par la méthode algébrique, on aura
| 4 | 2 | 8 | 0 | |
| - | 4 | 2 | 8 | |
| 4. | 2-4. | 8-2. | -8. |
Le résultat qui représente le multiple contient quatre termes, distingués entr’eux par des points, nommant (relativement au rang) pairs les second & quatrieme, & impairs les premier & troisieme ; si l’on fait séparément la somme des termes pairs & celle des impairs, la premiere sera , & la seconde : où l’on voit que les mêmes chiffres sont contenus dans l’une & dans l’autre somme, mais avec des signes contraires ; ensorte que si l’on vient à ajouter les deux sommes ensemble,
