seur lui envoyât ses observations sur la Géométrie, ce qu’au reste il ne fit jamais, en sorte que nous ignorons la nature et la portée de celles dont il s’agit ici. À la vérité, dans une lettre de Carcavi à Descartes, du 9 juillet 1649 (Clers., III, p. 442), nous voyons une remarque de Roberval touchant un passage de la Géométrie, p. 326, I. 3, et concernant indirectement la question de Pappus. Roberval paraît, en effet, avoir cherché en cet endroit la raison de cette circonstance que Descartes ne donne qu’une seule conique pour le lieu à quatre droites, tandis que ce lieu comprend un système de deux coniques. Une lettre de Mersenne à Constantin Huygens, du 17 mars 1648 [Œuvres complètes de Christian Huygens, I, i883, p. 84) nous apprend qu’on prétendait, à Paris, que ce lieu n’avait pas été résolu par M. Descartes en toute son étendue. Roberval qui, dès 1640 (voir sa lettre à Fermat du 4 août 1640, Œuvres de F., II, 1894, p. 301,8), avait approfondi la question, devait avoir reconnu, sans peine, le défaut de la solution de Descartes. Mais, quelqu’important que nous puisse paraître aujourd’hui ce défaut, ce n’était point une de ces erreurs tangibles sur lesquelles les géomètres d’alors cherchaient, dans leurs disputes, à s’attaquer. En tout cas, il s’agissait, en 1646, de toute autre chose, puisque Descartes dira (lettre ci-après à Mersenne, du 12 octobre 1646) que ce n’était rien qui concernait la géométrie, mais seulement la grammaire, ou que Roberval faisait quelque équivoque ou transposait quelque virgule pour dire que lui, Descartes, n’avait pas bien pris le sens de Pappus.
Nous sommes, de la sorte, renvoyés à l’examen du texte que Descartes donne d’après la version latine de Commandin. Or il n’y a qu’un passage obscur (Géométrie, p. 305,1. 10-14) :
« Quod si ad plures quam quatuor, punctum continget locos non adhuc cognitos, sed lincas tantum dictas ; quales autem sint, vel quam habeant proprietatem, non constat : earum unam, neque primam, et quæ manifestissima videtur, composuerunt ostendentes utilem esse. »
Descartes ((p. 307) traduit (assez librement) que les anciens avaient imaginé une ligne qu’ils montraient être utile à la question, mais qui semblait la plus manifeste, et qui toutefois n’était pas la première.
Sur quoi il combine une divination qu’on peut représenter comme suit. Soient
X = 0, Y = 0, Z = 0, U = 0, V = 0,
les équations de cinq lignes droites, λ un coefficient constant, et
XYZ + λ UV = 0,
l’équation générale du lieu à cinq lignes, d’après la définition de Pappus ; le cas que celui-ci aurait regardé comme le premier, et le cas traité par les anciens comme le plus manifeste, correspondraient, l’un au parallélisme des droites X, Y, Z, U (V leur étant perpendiculaire), l’autre au parallélisme de X, Y, U, V (Z leur étant perpendiculaire). — Voir Géométrie, p. 335 à 339.
