KLPLER. 45g
KM = K'M iang KK'M == sin g sin x tang g = 2 sin |éCos| s tang^gsin ,x=2 sia a ^ 6 sin^s, 9 o»~ ig— (90— g )= 9 o° — ie — 90° + é=i;é, Trxr/ • t • K'M 3 sin I e cos 5 e sin x • 1 » ■ KK' = 2 sin 1 g sin .r = es J = 2 sin £ e sin x. cos J e co.s ~ t
C'est dans le chap. LIX qu'il donne ses idées sur le calcul elliptique; c'est encore un chapitre qui est peu cité , quoiqu'il renferme toutes les méthodes qu'on suit encore aujourd'hui sans s'informer à qui l'on en est redevable.
Il établit quelques prothéorèmes.
I. Les ordonnées de l'ellipse sont les ordonnées d'un cercle , diminuées dans une raison constante. 11 renvoie à Apollonius et au Commentaire de Commandin sur Archimède.
Soit y l'ordonnée du cercle incliné, y' l'ordonnée correspondante de l'ellipse;
y' z=y cas e. —y — 2/ sin 2 1 g, d'où^* — y' = a/siu^g, sin g= excentricité. Ces expressions simples se tirent immédiatement de ce premier théorème.
II. L'aire de l'ellipse est à celle du cercle :: y' : y. C'est un théorème d'Archimède.
III. Les parties retranchées des ordonnées sont comme les y. C'est notre expression zy sin 3 j e.
IV. Si l'on divise le cercle en arcs égaux par des ordonnées, l'ellipse sera divisée en arcs inégaux, et les arcs elliptiques seront en plus grande proportion vers les extrémités du grand axe ; vers les extrémités du petit axe la proportion sera moindre; les arcs voisins seront presque égaux ; l'arc elliptique sera moindre cependant que l'arc circulaire correspondant, parce quïl a moins de courbure. ^
V. La circonférence elliptique est à peu près moyenne arithmétique entre celle du cercle inscrit et celle du cercle circonscrit. VI. Si deux carrés sont divisés proportionnellement, leurs gnomons seront comme les carrés ; les gnomons seront ab b* a a , A 2
zab + bb AB ' 2AB
b % a_ a A_"_ a 2 / , B
' 2AB A ' A 2AB A"V 2Â/
2AB -4- BB , B 2 B B A*"
1+ ^ÂB 1+ 2Â I+ 2 Â
Kepler en donne une démonstration synthétique.
