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qui se trouvent sur ${\text{AB}}$, par la méthode indiquée n^o 8 ; les droites ${\text{BD}}$, ${\text{BF}}$ sont donc des cordes : plus elles deviennent courtes entre leurs points extrêmes et plus elles se rapprochent de l’état de tangente à la courbe, et enfin elles le deviennent tout-à-fait et en même-temps, lorsque l’angle ${\text{BAD}}$ est nul, ou infiniment petit : mais nous venons d’observer que quelque soit cet angle, l’angle ${\text{DBF}}$ est toujours droit, donc il doit l’être encore à la limite des variations de ${\text{BAD}}$, ce qui prouve : 1^o Que la courbe a dans ce point deux tangentes distinctes, et par conséquent que ses deux branches s’y croisent (5), 2^o que ces deux tangentes sont perpendiculaires l’une à l’autre : ce qui peut servir à les construire toutes deux, quand on en connait une.

11. Nous nommerons désormais ce point le nœud de la courbe.

12. En corrélant les diverses parties de la figure 2, on voit que le nœud, le sommet et la directrice d’une focale étant donnés, la construction du cône générateur et des divers autres élémens de la formation de la courbe est facile à faire et résulte directement de ce que nous avons démontré. La réciproque a aussi manifestement lieu.

13. Sur le milieu de ${\text{AB}}$ menons ${\text{IH}}$ perpendiculaire à ${\text{AB}}$, et soit ${\text{H}}$ son point de rencontre avec la focale ; menons aussi ${\text{AHV}}$, le triangle ${\text{HVB}}$ sera isoscèle (8), ainsi que le triangle ${\text{ABH}}$. D’après cela nous avons :

${\text{BHV = HBV = 2HAB}}$,

mais

${\text{ABV = ABH + HBV}}$ ;

donc

${\text{ABV = 3 HAB}}$ :

ainsi l’angle ${\text{HAB}}$ vaudra le tiers de ${\text{ABV}}$ ou de $\alpha$ ; mais