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variables $U$ et $V$, de périodes normales $(1,0)$, $(0,1)$, $(G,H)$, $(H,G')$ ; désignons par $(K)$ une surface de Kummer correspondante.

» Supposons maintenant que les deux systèmes soient liés par une transformation du second ordre, c’est-à-dire qu’on puisse faire correspondre les variables par des relations linéaires

(1)

$V=\lambda u+\mu v,\ V=\lambda 'u+\mu 'v$

de manière qu’à un système $(u,v)$, déterminé aux périodes près, ne réponde qu’un système analogue $(U,V)$, et que, inversement, à un système $(U,V)$ répondent quatre systèmes $(u,v)$. D’après la théorie générale de la transformation, ces quatre systèmes sont de la forme

(2)

$u,\ v_{i};\ u+{\frac {\mathcal {P}}{2}},\ v+{\frac {\mathcal {P'}}{2}};\ u+{\frac {\mathcal {R}}{2}},v+{\frac {\mathcal {R'}}{2}};\ u+{\frac {\mathcal {P+R}}{2}},v+{\frac {\mathcal {P'+R'}}{2}},$

en désignant par ${\frac {\mathcal {P}}{2}}$, ${\frac {\mathcal {P'}}{2}}$ et ${\frac {\mathcal {R}}{2}}$, ${\frac {\mathcal {R'}}{2}}$ deux demi-périodes des fonctions abéliennes en $u$, $v$ : ces demi-périodes ne sont pas arbitraires ; les quatre quantités

(3)

$(0,0);\ \left({\frac {\mathcal {P}}{2}},{\frac {\mathcal {P'}}{2}}\right);\left({\frac {\mathcal {R}}{2}},{\frac {\mathcal {R'}}{2}}\right);\ \left({\frac {\mathcal {P+R}}{2}},{\frac {\mathcal {P'+R'}}{2}}\right)$

constituent ce qu’on nomme un groupe de Göpel de demi-périodes : géométriquement, les quatre points doubles de la surface $(k)$ dont elles sont les arguments forment les sommets d’un tétraèdre qui n’a comme face aucun des seize plans singuliers de $(k)$.

» D’après cela, à ces quatre points doubles de $(k)$ répond, sur $(K)$, par la transformation (1), un seul et même point double, $U=0$, $V=0$, que nous désignerons par $A_{0}$. De même, aux douze autres points doubles de $(k)$ répondent, au total, trois points doubles $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ de $(K)$, dont chacun correspond à quatre points doubles de $(k)$, formant un groupe de Göpel. Les points $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$ sont eux-mêmes, sur $(K)$, les sommets d’un tétraèdre de Göpel.

» Cela posé, les relations (1) établissent entre les deux surfaces de Kummer $(K)$ et $(k)$ une correspondance $(1,4)$, de sorte que chaque courbe algébrique tracée sur l’une des surfaces a sa correspondante algébrique sur l’autre. Or, si une courbe $(c)$, tracée sur $(k)$, ne se transforme pas en elle-même quand on augmente $u$, $v$ d’une des trois demi-périodes non nulles du tableau (3), ce qui est le cas pour une courbe prise au hasard, sa correspondante $(C)$, sur $(K)$, sera de même genre et