divers systèmes de l’ensemble seront représentés par un nombre égal de points distribués dans notre espace généralisé. On définit aisément à partir de ce qui précède la probabilité au sens de Boltzmann pour une distribution déterminée de ces points. Le logarithme de cette probabilité est représenté par une intégrale étendue au domaine que les points occupent : elle est d’autant plus petite que les points représentatifs sont plus ramassés au voisinage les uns des autres, plus groupés dans certaines régions, qu’il y a plus d’organisation dans la distribution des divers états entre les systèmes. Elle est maximum pour une distribution particulière analogue à ce qu’est la distribution des vitesses de Maxwell lorsque les systèmes représentent les diverses molécules d’un gaz homogène. Nous allons voir que son logarithme possède des propriétés analogues à celles de l’entropie.
Il résulte du théorème de Liouville que si chaque système évolue indépendamment des autres sous l’action de forces extérieures données, les points représentatifs se déplacent au cours du temps de manière que ceux initialement contenus dans un certain domaine d’extension en phase occupent toujours un domaine d’étendue constante, main de forme variable. L’ensemble des points se déplace à la façon d’un fluide incompressible. La forme de chaque élément, si elle est primitivement simple, se complique en général de plus en plus, elle s’amincit, s’allonge, se replie sur elle-même comme cela se passerait pour les éléments de volume d’un fluide constamment agité.
Si nos procédés de mesure étaient assez précis pour que nous puissions suivre dans tous ses détails le mouvement de chaque système et distinguer l’un de l’autre des états infiniment voisins, nous pourrions, malgré la pénétration en général de plus en plus intime de leurs replis, reconnaître constamment, distinguer les uns des autres les éléments primitifs comme pourrait le faire un puissant microscope pour le mélange mécanique obtenu par brassage de divers fluides non miscibles et de couleurs différentes. La conservation du volume de chaque élément à travers cette complication Croissante de la forme a pour conséquence que le logarithme de la probabilité, l’entropie fine de Poincaré, reste constante au cours du temps, de même que l’entropie thermodynamique reste constante dans une transformation réversible… La détermination de cette entropie fine exigerait que nous sachions pousser la décomposition de l’extension en phase jusqu’à des éléments de plus en plus petits.
