la solution cherchée devait rendre minimum une certaine intégrale mais n’avait pu démontrer de manière rigoureuse l’existence même de la fonction qui correspond à un tel minimum. Cette remarque correspondait à la propriété physique possédée par la distribution d’équilibre électrique de rendre minimum l’énergie présente dans le champ qu’elle produit. Nous sommes physiquement certains qu’un tel champ d’énergie minimum existe, bien que l’analyse de Riemann ne suffise pas à l’établir avec une entière rigueur mathématique. On sait que cette lacune du raisonnement de Riemann a été comblée par M. Hilbert.
Dans son travail de 1890, Poincaré applique des raisonnements analogues à celui de Riemann aux problèmes que posent la théorie de la chaleur et celle de l’élasticité. On sait que Fourier. avait fondé la méthode géniale par laquelle on obtient la loi du refroidissement d’un corps de forme quelconque pour une distribution initiale quelconque de la température à son intérieur, en décomposant cette distribution initiale en une série de distributions simples dont chacune possède la propriété de rester semblable à elle-même au cours du temps et de tendre vers l’uniformité suivant une fonction exponentielle du temps, de plus en plus rapidement décroissante à mesure qu’on avance dans la série. Une décomposition tout à fait analogue, à la substitution près de fonctions périodiques du temps aux fonctions exponentielles, permet de représenter par une série de vibrations simples de fréquence croissante à mesure qu’on avance dans la série, le mouvement que prend un solide élastique, ou une membrane, initialement écarté de manière quelconque à partir de sa configuration d’équilibre. Chacune des distributions ou des vibrations simples correspondant à un des termes de la série satisfait, dans les deux problèmes, à une même équation aux dérivées partielles voisine de celle de Laplace qu’introduit le problème de Dirichlet. Poincaré montre, comme l’avait fait Riemann pour ce dernier problème, que chaque distribution ou vibration simple satisfait encore à la condition de rendre minimum une certaine intégrale, avec des liaisons déterminées par la connaissance des distributions simples et des harmoniques antérieures, dans la série, au terme cherché. peut déduire de là des limites supérieures pour les coefficients du temps dans les exponentielles successives ou pour les fréquences des vibrations simples consécutives.
Peu satisfait par le défaut de rigueur du raisonnement de Riemann, il cherche, dans un dernier chapitre, à l’atténuer par un « retour à l’hypothèse moléculaire » où, guidé encore une fois par une intui-
