538 L'ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
vée a aussi toutes ses racine» réelles, celles-ci étant respectivement situées entre les racines de l’équation primitive. En effet, dans chacun des intervalles (x1, x2, (x.x), ..., (xn-1, xn), qui sont un nombre de n-1, il y a une racine de l’équation dérivée : ce qui donne n — i racines réelles de cette équation ; elle n’a pas d’autres racines puisqu’elle est de degré (1) n-1.
574. Séparation des racines d’une équation. — Supposons que nous sachions calculer toutes tes racines réelles de f(x) situées dans un intervalle a, b où f(x) et f'(x) sont continues. Appelons-les α,β, y, ... ,λ., et calculons les valeurs f(a), f(α), ..., f(b) - valeurs de la focntion pour x=a, x=, etc. - de manière à connaître leurs signes. Chacun des nombres a, α, ...) « fournira » ainsi, — à moins qu’il ne soit racine de f(x) — l’un des signes + ou -. Cela fait, il résulte du théorème de Rolle (2) que chacun des invervalles (a,), (), ..,b) cibtuebdra s ou o raince de f(x) suivant que ses extrémités fournissent ou non (I des signes contraires.
Sur la figure 216, par exemple, les signes correspondant aux nombres de la suite de Rolle sont :
a α β Υ σ b - + - - - +
L’équation présente i racine dans chacun des intervalles (a,α), (a,β), (,b) et o racine dans les intervalles (β,y), y, <
(1) La dérivée d’un polynôme do degré n, soit anxn + ... + ax1 + x0 est,
on le sait, un polynôme do degré n—1, savoir n.a„x-1 + ... + a1
(2) La déduction est immédiate pour les intervalles , etc. Pour ce qui est de l’intervalle a,x ou λ, 6 ] observons d’abord qu’il contient au plus une racine car s’il en contenait deux, il y aurait entre elles une racine de la dérivée d’après la seconde partie du théorème de Rolle ; donc il en contient une ou zéro suivant qu’entre a et α la courbe coupe ou non l’axe des x.
(3) Dans le cas particulier où l’une des extrémités d’un intervalle (α,β), est racine de f(x) , il n’y a, nous l’avons dit, aucune autre racine dans cet intervalle.
(4) Considérons encore, pour prendre un exemple numérique, l’équation
du troisième degré f(x) = x3 - 3x + 1 = 0; nous avons f'(x) = 3x2 - 3 = 3(x2 -1)
Les racines de la dérivée sont -1 et +1. Envisageons alors l'inter-
