532 L'ALGÈBRE GÉOMÉTRIQUE
l’aire OMB dans le cas ’) où l’arc : OM (sur la fig. 209) est un arc de la parabole qui a pour sommet O et pour axe OB [celle courbe est telle que les carrés des ordonnées de ses points sont proportionnels (2) aux abscisses : y2= apx (vide 528) : elle est donc représcnliitie de la fonction y = sqrt(apx). Généralisant la question, Fermat avait étudié le cas où la courbe OM ou MN est une parabole d’un genre supérieur : « J’ai quarré (’) — écrit-il à Mersenne (1) en 1636 — infinies figures comprises de lignes
Figure 209 Figure 210
courbes ; comme, par exemple, si vous imaginez une figure comme la parabole, en telle sorte que les cubes des appliquées [ordonnées] soient en proportion des [proportionelles aux] lignes qu’elles coupent du diamètre (2} {abscisses]. Cette figure approchera de la parabole et n’en diffère qu’en ce qu’au lieu qu’en la parabole on prend la proportion des carrés, je prends ici celles des cubes ; et c’est pour cela que M. de Beaugrand à qui j’en lis la proposition l’appelle parabole solide ». La parabole solide est représentative de la fonction y = sqrt(apx) ; Fermat « quarre» semblablement les segments plans OMB déterminés par des paraboles quarré-quarrées, quarré-solides, etc. c’est-à-dire représentatives des fonctions y = sqart(apx), y = sqrt(apx), etc. Or, en charchant à quarrer les segments plans définis par de telles courbes ou d’autres semblables, on ne pouvait manquer d’apercevoir l’étroite connexité qu’il y a entre ces problèmes de quadrature et la notion de dérivée d’une fonction.
(1) Le segment plan est alors un segment parabolique ». (2) C’est-à-dire que le carré de l’ordonnée d’un quelconque des points de la courbe est égal à l’abscisse multipliée par cm nombre constant. (3) Évalué l’aire de. (4) OEuv, de Fermat, t. II, p.73 (5) En parlant tout à l’heure de la parabole ordinaire, nous avons supposé que OBsur la fig. 209 n’était pas un diamètre quelconque, mais l’axe «le la courbe. Les hypothèses de Fermat s’appliquent en réalité à un cas plus général. Comparer, n° 529.
