Les nombres
2 x n) premiers nombres moins la somme des n premiers nombres pairs. Cela dit, pour avoir la somme des 2 x n premiers nombres, nous n’avons qu’à remplacer n par 2 X n dans l’expression de S trouvée plus haut : nous obtenons :
2 x n x (2 x n -1) ou 2 x n + n
Retranchons la somme des n premiers nombres pairs, c'est-à-dire n x n +1 ou n2+n. Il rest le nombre : 2 x n2+n - (n2+ n) = n qui est la valeur de la somme S".
Ainsi, la somme des n premiers nombres impairs est égale au carré du nombre n. C’est là une belle proposition qui excitait déjà l’admiration des Pythagoriciens (cf. n"3). Ils en avaient donné la démonstration suivante : Représentons les nombres impairs par les groupes de points :
. . .
. .. ... 1 3 5 puis, juxtaposons-les conformément à la figure 1, où chaque nombre impair est séparé du suivant par une ligne coudée tracée en pointillé. On voit que, quel que soit le nombre des nombres impairs ainsi juxtaposés il y en a , quatre sur le schéma ci-contre), la figure formée est un carré dont le côté contient autant de points que l’on a pris de nombres impairs. Supposons que l'on prenne n; le carré comprendra n lignes de n points,d onc n2 points en tout. On en conclut que la somme des n premiers nombres impairs est bien égale à n2
15. Progressions arithmétiques. — A près la suite croissante
dus nombres, celle des nombres pairs et celle des nombres
(’) Le nombre impair ainsi disposé était appelé « gnomon » ; c’est le nom d’un instrument astronomique dont l’image du nombre impair imite la forme.
